Tehtävä:
Kvanttoritehtäviä

Lyhyt MathCheck-ohje (uuteen välilehteen)

Tässä tehtävässä harjoitellaan kvanttoreita sisältävien kaavojen tulkitsemista ja kirjoittamistakin. Samalla tulee kerrattua joitakin käsitteitä.

Alla on lueteltu predikaatteja aihepiirettäin ryhmiteltynä ja niiden jälkeen on vastausruutuja ja sanallisia ilmauksia. Vastaa antamalla sen predikaatin edessä oleva kirjain, joka parhaiten täsmää sanalliseen kuvaukseen. Ensim­mäinen kohta on annettu malliksi valmiiksi.

Reaalilukuja koskevia predikaatteja

(a)∀ x: ∀ y: ∀ z: (x+y)+z = x+(y+z)
(b)∃ x: x2 = 3
(c)∀ x: ∀ y: ∀ z: x ≤ y ∧ z < 0 → x z ≥ y z
(d)∀ x: ∃ y: y > x
(e)∀ x: ∀ y: ∀ z: (x+y)+z = x+y+z
(f)(9−4)−2 ≠ 9−(4−2)
(g)¬ ∃ x: x < x
(h)∃ a: a < 0 ∧ ∃ b: b < a
(i)∃ x: ∀ y: y2 ≠ x
(j)∀ x: ∀ y: ∀ z: x < y ∧ y < z → x < z

Luonnollisia lukuja koskevia predikaatteja

(k)∀ m: m ≥ 0
(l)x > y ∧ ∀ z: z > y → z ≥ x
(m)n ≥ 2 ∧ ¬ ∃ k: ∃ h: h > 1 ∧ k > 1 ∧ n = h · k
(n)∃ c: a = b · c
(o)∃ c: b = a · c
(p)∀ x: ∀ y: x ≠ y → x2 ≠ y2
(q)∀ x: x+1 ≠ 0

Funktiota f koskevia predikaatteja

(r)∀ x: ∀ y: x ≥ y → f(x) ≥ f(y)
(s)∀ x: ∀ y: x < y → f(x) < f(y)
(t)∃ x: f(x) = 0 ∧ ∀ y: x = y ∨ f(y) ≠ 0
(u)∃ x: ∃ y: f(x) = 0 ∧ f(y) = 0 ∧ x ≠ y

Jonkin joukon alkioita koskevia predikaatteja

(v)∃ a: ∃ b: a ≠ b ∧ ∀ c: c = a ∨ c = b
(w)∃ x: ∀ y: x ≥ y
(x)∃ u: ∀ v: u = v
(y)∀ y: x ≥ y

On olemassa reaaliluku, jonka neliö on kolme.
tai

Joukon suurin alkio on x.
tai

On olemassa negatiivisia lukuja (ainakin kaksi).
tai

Luonnolliset luvut ovat ei-negatiivisia.
tai

x on pienin y:tä suurempi luku.
tai

Nollaa ei voi esittää luonnollisen luvun ja ykkösen summana.
tai

Vähennyslasku ei ole liitännäinen.
tai

f:llä on ainakin kaksi nollakohtaa.
tai

Eri luvuilla on eri neliöt.
tai

Mikään luku ei ole suurin.
tai

a on b:n tekijä.
tai

f on aidosti kasvava.
tai

Kaikilla luvuilla ei ole neliöjuurta.
tai

f on kasvava.
tai

Mikään luku ei ole itseään pienempi.
tai

Joukossa on tasan kaksi alkiota.
tai

Joukossa on suurin alkio.
tai

a saadaan b:stä kertomalla sopivasti valitulla luvulla.
tai

Joukossa on tasan yksi alkio.
tai

Negatiivisella luvulla kertominen kääntää suuruus­järjestyksen.
tai

f:llä on täsmälleen yksi nollakohta.
tai

”<” on transitiivinen.
tai

n on alkuluku.
tai

Yhteenlasku on vasemmalle liitännäinen.
tai

Yhteenlasku on liitännäinen.
tai

Esitä seuraavat väittämät predikaatteina.

n on pienempi kuin m.

tai

Jokin luku on pienempi kuin m.

tai

Jokainen luku on pienempi kuin m.

tai

n on jaollinen k:lla.

tai

Jokin luku on jaollinen k:lla.

tai

Jokainen luku on jaollinen k:lla.

tai

Lukujen i ja j välissä on luku, missä i < j.

tai

Lukujen i ja j välissä ei ole lukua, missä i < j.

tai

Lukujen i ja j välissä on luku.

tai

Lukujen i ja j välissä ei ole lukua.

tai

Tämä tältä erää, palataan asiaan!