Teh­tä­vä:
Ka­nan­pa­lat

Ly­hyt Math­Check-oh­je (uu­teen vä­li­leh­teen)

Tä­män teh­tä­vän ta­voit­tee­na on har­joi­tel­la päät­te­lyn ja­ka­mis­ta osiin ja kun­kin osan päät­te­le­mis­tä täs­mäl­li­ses­ti, kaik­ki olen­nai­nen huo­mioon ot­taen.

Fri­tee­rat­tu­ja ka­nan­pa­lo­ja saa 6:n, 9:n ja 20:n pak­kauk­sis­sa. Ta­san 21 ka­nan­pa­laa voi os­taa os­ta­mal­la kak­si 6:n ja yh­den 9:n pa­lan pak­kauk­sen. Ta­san 19 ka­nan­pa­laa ei voi os­taa mil­lään. Ta­voit­teem­me on sel­vit­tää, mi­kä on suu­rin mää­rä ka­nan­pa­lo­ja, jo­ta ei voi os­taa mil­lään.

Vain 6:n ja 9:n pa­lan pak­kauk­sia

Sa­nal­la ”lu­ku” tar­koi­te­taan täs­sä teh­tä­väs­sä luon­nol­lis­ta lu­kua, eli 0, 1, 2, …. Ne­ga­tii­vi­sia ko­ko­nais­lu­ku­ja ei tar­vi­ta, kos­ka ei voi­da os­taa al­le nol­laa pak­kaus­ta, ja mui­ta kuin ko­ko­nais­lu­ku­ja ei tar­vi­ta, kos­ka ei voi­da os­taa esi­mer­kik­si puol­ta pak­kaus­ta.

Tar­vit­sem­me kä­te­vän il­mauk­sen sil­le, et­tä kaik­ki os­tet­ta­vat pak­kauk­set ovat kuu­den ja yh­dek­sän pa­lan, mut­ta mo­lem­pia ko­ko­ja ei vält­tä­mät­tä os­te­ta ei­kä vält­tä­mät­tä os­te­ta yh­tään mi­tään. Il­maus ”os­te­taan pel­käs­tään kuu­den ja yh­dek­sän pa­lan pak­kauk­sia” si­säl­tää vi­vah­teen, et­tä ai­na­kin yk­si pak­kaus os­te­taan, jo­ten se ei ole hy­vä. Sik­si käy­täm­me il­maus­ta ”os­te­taan mie­li­val­tai­nen ko­koel­ma kuu­den ja yh­dek­sän pa­lan pak­kauk­sia”.

Luet­te­le kuu­si pie­nin­tä mää­rää, jot­ka saa muo­dos­tet­tua os­ta­mal­la mie­li­val­tai­nen ko­koel­ma kuu­den pa­lan pak­kauk­sia. Luet­te­le ne pie­nim­mäs­tä al­kaen kas­va­vas­sa suu­ruus­jär­jes­tyk­ses­sä. En­sim­mäi­nen vas­taus on an­net­tu val­mii­na: kun os­taa nol­la pak­kaus­ta, saa nol­la ka­na­pa­laa.
only_no_yes_on ok_text Oi­kein! arithmetic f_nodes 1 hide_expr 0=0end_of_answer arithmetic f_nodes 1 hide_expr 6=end_of_answer arithmetic f_nodes 1 hide_expr 12=end_of_answer arithmetic f_nodes 1 hide_expr 18=end_of_answer arithmetic f_nodes 1 hide_expr 24=end_of_answer arithmetic f_nodes 1 hide_expr 30= tai

Luet­te­le kuu­si pie­nin­tä mää­rää, jot­ka saa muo­dos­tet­tua os­ta­mal­la mie­li­val­tai­nen ko­koel­ma kuu­den ja yh­dek­sän pa­lan pak­kauk­sia.
only_no_yes_on ok_text Jäl­leen oi­kein! arithmetic f_nodes 1 hide_expr 0=end_of_answer arithmetic f_nodes 1 hide_expr 6=end_of_answer arithmetic f_nodes 1 hide_expr 9=end_of_answer arithmetic f_nodes 1 hide_expr 12=end_of_answer arithmetic f_nodes 1 hide_expr 15=end_of_answer arithmetic f_nodes 1 hide_expr 18= tai

Luet­te­le seit­se­män pie­nin­tä kol­mel­la jaol­lis­ta luon­nol­lis­ta lu­kua.
only_no_yes_on ok_text Ai­na vain oi­kein! /*Toi­vot­ta­vas­ti huo­ma­sit se­kä sa­man­kal­tai­suu­den et­tä eron edel­li­seen vas­tauk­seen.*/ arithmetic f_nodes 1 hide_expr 0=end_of_answer arithmetic f_nodes 1 hide_expr 3=end_of_answer arithmetic f_nodes 1 hide_expr 6=end_of_answer arithmetic f_nodes 1 hide_expr 9=end_of_answer arithmetic f_nodes 1 hide_expr 12=end_of_answer arithmetic f_nodes 1 hide_expr 15=end_of_answer arithmetic f_nodes 1 hide_expr 18= tai

Teem­me kak­si ha­vain­toa kos­kien 6:n ja 9:n (mut­ta ei 20:n) pa­lan pak­kauk­sis­ta muo­dos­tet­ta­vis­sa ole­via luon­nol­li­sia lu­ku­ja:

1. Ne ovat kaik­ki kol­mel­la jaol­li­sia. Tä­mä on help­po huo­ma­ta to­dek­si: 6:n pa­lan pak­kauk­ses­ta kol­me ih­mis­tä saa 2 pa­laa ku­kin ei­kä yh­tään pa­laa jää yli. 9:n pa­lan pak­kauk­ses­ta kol­me ih­mis­tä saa 3 pa­laa ku­kin ei­kä yh­tään pa­laa jää yli. Kos­ka jo­kai­nen pak­kaus erik­seen voi­daan ja­kaa ta­san, myös mi­kä ta­han­sa ko­koel­ma pak­kauk­sia voi­daan ja­kaa ta­san.
2. Ai­noa kol­mel­la jaol­li­nen luon­nol­li­nen lu­ku, jo­ta ei saa muo­dos­tet­tua, on 3.

Pe­rus­te­le mie­les­sä­si, et­tä kol­mea pa­laa ei saa muo­dos­tet­tua. Asia on help­po, mut­ta päät­te­le­mi­sen har­joit­te­le­mi­nen kan­nat­taa aloit­taa hel­poil­la asioil­la. Kun olet val­mis, kat­so opet­ta­jan muo­toi­le­ma pe­rus­te­lu täs­tä6:n pa­lan pak­kaus si­säl­tää lii­kaa pa­lo­ja ja 9:n pa­lan pak­kaus si­säl­tää lii­kaa pa­lo­ja. Jos pak­kauk­sia ote­taan mon­ta, niin pa­lo­ja tu­lee vie­lä enem­män lii­kaa. Ei yh­tään pak­kaus­ta ei tuo­ta 3 pa­laa, kos­ka se tuot­taa 0 pa­laa..

Poh­dim­me het­ken tä­män pää­tel­män ra­ken­net­ta. Se ja­kau­tui kol­meen ta­pauk­seen, jot­ka yh­des­sä kat­toi­vat kaik­ki mah­dol­li­suu­det. Mit­kä ne oli­vat, ja mi­ten yk­si niis­tä käyt­ti tois­ta apu­naan? Kun olet miet­ti­nyt, kat­so opet­ta­jan vas­taus täs­täTa­pauk­set oli­vat (a) nol­la pak­kaus­ta, (b) yk­si pak­kaus ja (c) vä­hin­tään kak­si pak­kaus­ta. Niis­tä (c) käyt­ti (b):tä: kos­ka jo yk­si­kin pak­kaus tuot­taa lii­kaa pa­lo­ja, niin mon­ta pak­kaus­ta tuot­taa myös lii­kaa..

Olem­me­ko to­dis­ta­neet väit­tä­män B, siis et­tä ai­noa kol­mel­la jaol­li­nen luon­nol­li­nen lu­ku, jo­ta ei saa muo­dos­tet­tua, on 3? only_no_yes_on hide_expr ok_text Näin on ☺! Em­me ole to­dis­ta­neet, et­tä kaik­ki muut kol­mel­la jaol­li­set saa­daan pait­si 3. Siis sa­na ”ai­noa” on kä­sit­te­le­mät­tä.

	Kyl­lä
	Ei
Et kai si­nä tä­tä aio va­li­ta!	En tie­dä

tai

Pe­rus­te­le, et­tä 0, 6, 12, 18, 24, … saa muo­dos­tet­tua. Vas­tausNe saa­daan os­ta­mal­la 0, 1, 2, 3, 4, … kuu­den pa­lan pak­kaus­ta.

Vie­lä pi­tää kä­si­tel­lä joi­ta­kin lu­ku­ja, jot­ta väit­tä­män B to­dis­tus tu­li­si val­miik­si. Luet­te­le niis­tä kuu­si pie­nin­tä. Vih­jeLu­ku 3 on jo kä­si­tel­ty. Osoi­tim­me, et­tä si­tä ei voi muo­dos­taa.
only_no_yes_on ok_text Osa­sit! arithmetic f_nodes 1 hide_expr 9=end_of_answer arithmetic f_nodes 1 hide_expr 15=end_of_answer arithmetic f_nodes 1 hide_expr 21=end_of_answer arithmetic f_nodes 1 hide_expr 27=end_of_answer arithmetic f_nodes 1 hide_expr 33=end_of_answer arithmetic f_nodes 1 hide_expr 39= tai

Väit­tä­män B to­dis­tuk­ses­ta yhä puut­tu­vat ta­pauk­set saa­daan näin(Muis­tit­han miet­tiä en­sin it­se?) Os­te­taan yk­si 9:n pa­lan pak­kaus ja tar­vit­ta­va mää­rä 6:n pa­lan pak­kauk­sia..

Väit­tä­mä B on nyt ko­ko­naan to­dis­tet­tu.

Kun to­dis­tim­me väit­tä­män B, em­me lain­kaan ot­ta­neet huo­mioon, et­tä sa­mal­la ker­taa voi­daan os­taa esi­mer­kik­si kak­si 9:n pa­lan pak­kaus­ta ja nel­jä 6:n pa­lan pak­kaus­ta. Mik­si tä­mä ei ole on­gel­ma? Open se­li­tysTa­voit­tee­na oli to­dis­taa, et­tä kaik­ki lu­vut 0, 6, 9, 12, 15, 18, … (kol­mo­nen puut­tuu tar­koi­tuk­sel­la) saa­daan muo­dos­tet­tua. Riit­tää, et­tä ne saa­daan muo­dos­tet­tua jol­lain ta­val­la. Os­ta­mal­la kak­si tai useam­pia 9:n pa­lan pak­kauk­sia saa­daan yli­mää­räi­siä ta­po­ja muo­dos­taa ym. lu­ku­ja, mut­ta nii­tä ei tar­vi­ta, kos­ka sa­mat lu­vut saa­daan jo kä­si­tel­lyil­lä ta­voil­la.

Oli­ko väit­tä­mä A täs­sä suh­tees­sa sa­man­lai­nen vai eri­lai­nen? Open se­li­tysEri­lai­nen. Siel­lä pi­ti ot­taa huo­mioon kaik­ki mah­dol­li­set yh­dis­tel­mät 6:n ja 9:n pa­lan pak­kauk­sis­ta. Pi­ti to­dis­taa, et­tä mi­kään yh­dis­tel­mä ei tuo­ta mui­ta kuin kol­mel­la jaol­li­sia lu­ku­ja.

Ai­na­kin kol­me 20:n pa­lan pak­kaus­ta

Vie­lä on miet­ti­mät­tä, mi­tä saa­daan ai­kaan, jos os­tok­ses­sa saa ol­la mu­ka­na myös 20:n pa­lan pak­kauk­sia. On help­po hok­sa­ta, et­tä jos os­taa kol­me 20:n pa­lan pak­kaus­ta, niin se ei tuo li­sää lu­ku­ja ver­rat­tu­na nii­hin, jot­ka osaam­me jo muo­dos­taa. Mik­siKol­mel­la 20:n pa­lan pak­kauk­sel­la saa­daan 60 pa­laa. Sa­ma mää­rä saa­daan kym­me­nel­lä kuu­den pa­lan pak­kauk­sel­la.?

Koh­ta mie­tim­me, mi­tä saa­daan ai­kaan yh­del­lä tai kah­del­la 20:n pa­lan pak­kauk­sel­la (mie­li­val­tai­sen 6:n ja 9:n pa­lan pak­kaus­ten ko­koel­man li­sä­nä). Mik­si nel­jä tai vii­si tai mi­kään kah­ta suu­rem­pi mää­rä 20:n pa­lan pak­kauk­sia ei tuo li­sä­ar­voa? Open lö­pi­näKaik­ki sel­lai­set ta­pauk­set ovat muo­toa ”enin­tään kak­si 20:n pa­lan pak­kaus­ta plus jo­kin kol­mel­la jaol­li­nen mää­rä 20:n pa­lan pak­kauk­sia”. Jäl­kim­mäi­nen osuus tuot­taa jon­kin mo­ni­ker­ran 60 pa­las­ta. Se saa­daan myös il­man 20:n pa­lan pak­kauk­sia, os­ta­mal­la jo­kin mo­ni­ker­ta ryh­miä, jois­ta jo­kai­ses­sa on kym­me­nen kuu­den pa­lan pak­kaus­ta. Sik­si vain en­sim­mäi­nen ja toi­nen 20:n pa­lan pak­kaus voi­vat tuot­taa li­sää mah­dol­li­suuk­sia.

Yk­si 20:n pa­lan pak­kaus

Jos os­te­taan yk­si 20:n pa­lan pak­kaus ja sen li­säk­si mie­li­val­tai­nen ko­koel­ma 6:n ja 9:n pa­lan pak­kauk­sia, ja jae­taan si­säl­tö ta­san 3:lle hen­ki­löl­le, niin kuin­ka mon­ta pa­laa jää yli?
ok_text Hy­vin su­juu! only_no_yes_on arithmetic f_nodes 1 hide_expr 2 = tai

Mik­si juu­ri se mää­rä? Vas­taus6:n ja 9:n pa­lan pak­kaus­ten si­säl­tö ja­kau­tuu ta­san. 20:n pa­lan pak­kauk­ses­ta jo­kai­nen saa 6 pa­laa ja yli jää 2 pa­laa.

Saam­me siis ai­kaan vain lu­ku­ja, joi­den ja­ko­jään­nös kol­mel­la jaet­taes­sa on 2. Nii­tä­kään em­me saa kaik­kia. Luet­te­le kuu­si pie­nin­tä, jot­ka saa­daan. Vih­jePie­nin, jo­ka saa­daan ai­kaan on 20. Sii­hen voi­daan li­sä­tä mi­kä ta­han­sa mää­rä, jo­ka saa­daan ai­kaan 6:n ja 9:n pa­lan pak­kauk­sil­la. Li­sä­vih­jeEdel­lä näim­me, et­tä täl­lai­set mää­rät ovat 0, 6, 9, 12, 15, 18, …, mut­ta ei 3 (väit­tä­mä B).
ok_text Tä­mä koh­ta oi­kein! only_no_yes_on arithmetic f_nodes 1hide_expr 20=end_of_answer arithmetic f_nodes 1 hide_expr 26=end_of_answer arithmetic f_nodes 1 hide_expr 29=end_of_answer arithmetic f_nodes 1 hide_expr 32=end_of_answer arithmetic f_nodes 1 hide_expr 35=end_of_answer arithmetic f_nodes 1 hide_expr 38= tai

Mi­kä on suu­rin lu­ku, jon­ka ja­ko­jään­nös kol­mel­la jaet­tu­na on 2 ja jo­ta ei voi muo­dos­taa?
ok_text Olet edel­leen oi­keas­sa! only_no_yes_on arithmetic f_nodes 1 hide_expr 23= tai

Pe­rus­te­le, et­tä se to­del­la­kin on suu­rin. Vas­tausVäit­tä­män B mu­kaan 6:n ja 9:n pa­lan pak­kauk­sil­la saa muo­dos­tet­tua kaik­ki lu­vut 6, 9, 12, 15, 18, …. Kun li­sä­tään yk­si 20:n pa­lan pak­kaus, saa­daan kaik­ki lu­vut 26, 29, 32, 35, 38, ….

Kak­si 20:n pa­lan pak­kaus­ta

Tut­ki­mat­ta on enää ta­paus, jos­sa os­te­taan kak­si 20:n pa­lan pak­kaus­ta ja sen li­säk­si mie­li­val­tai­nen ko­koel­ma 6:n ja 9:n pa­lan pak­kauk­sia. Mi­kä on näin saa­ta­vien mää­rien ja­ko­jään­nös kol­mel­la jaet­taes­sa?
ok_text Oi­kein tä­mä­kin! only_no_yes_on arithmetic f_nodes 1 hide_expr 1 = tai

Pe­rus­te­le edel­li­nen vas­taus. Vas­tausKak­si 20:n pa­lan pak­kaus­ta si­säl­tää 40 pa­laa, jois­ta riit­tää kol­mel­le ih­mi­sel­le 13 kul­le­kin ja yk­si jää yli. 6:n ja 9:n pa­lan pak­kaus­ten si­säl­tö ja­kau­tuu ta­san.

Mi­kä on suu­rin lu­ku, jon­ka ja­ko­jään­nös kol­mel­la jaet­tu­na on 1 ja jo­ta ei voi muo­dos­taa?
ok_text Hie­noa! Lop­pu­suo­ra hää­möt­tää jo! only_no_yes_on arithmetic f_nodes 1 hide_expr 43= tai

Mik­si ko. lu­kua ei voi muo­dos­taa? Vas­tausLu­vun 43 muo­dos­ta­mi­sek­si ku­va­tul­la ta­val­la pi­täi­si muo­dos­taa lu­ku kol­me 6:n ja 9:n pa­lan pak­kauk­sis­ta, mut­ta väit­tä­män B mu­kaan se on mah­do­ton­ta.

Mik­si kaik­ki si­tä suu­rem­mat voi muo­dos­taa? Vas­tausVäit­tä­män B mu­kaan 6:n ja 9:n pa­lan pak­kauk­sil­la saa muo­dos­tet­tua kaik­ki lu­vut 6, 9, 12, 15, 18, …. Kun li­sä­tään kak­si 20:n pa­lan pak­kaus­ta, saa­daan kaik­ki lu­vut 46, 49, 52, 55, 58, ….

Yh­teen­ve­to ta­pauk­sis­ta

Nyt tie­däm­me kol­mes­sa ta­pauk­ses­sa suu­rim­man lu­vun, jo­ta ei voi muo­dos­taa:

• Kol­mel­la ja­ko me­nee ta­san. Lu­ku on3
• Kol­mel­la ja­ko jät­tää ja­ko­jään­nök­sek­si yh­den. Lu­ku on43
• Kol­mel­la ja­ko jät­tää ja­ko­jään­nök­sek­si kak­si. Lu­ku on23

Mui­ta ta­pauk­sia ei ole. Mi­kä siis on suu­rin mää­rä ka­nan­pa­lo­ja, jo­ta ei voi muo­dos­taa os­ta­mal­la so­pi­vas­ti 6:n, 9:n ja 20:n ka­nan­pa­lan pak­kauk­sia?
ok_text ♔ Lois­ta­vaa! ♔ only_no_yes_on arithmetic f_nodes 1 hide_expr 43 = tai

Mi­kä on suu­rin mää­rä ka­nan­pa­lo­ja, jo­ta ei voi muo­dos­taa os­ta­mal­la so­pi­vas­ti 5:n, 16:n ja 20:n ka­nan­pa­lan pak­kauk­sia? Vih­jeTäs­sä ta­pauk­ses­sa eräs pak­kaus­ko­ko on hyö­dy­tön.
ok_text Kyl­lä! Hie­noa! only_no_yes_on arithmetic f_nodes 1 hide_expr 59 = tai

Mi­kä on suu­rin mää­rä ka­nan­pa­lo­ja, jo­ta ei voi muo­dos­taa os­ta­mal­la so­pi­vas­ti 12:n, 15:n ja 20:n ka­nan­pa­lan pak­kauk­sia? Ei vih­jet­täNyt pun­ni­taan, löy­dät­kö rat­kai­sun it­se­näi­ses­ti!
ok_text Löy­sit oi­kean vas­tauk­sen! Mah­ta­va suo­ri­tus! only_no_yes_on arithmetic f_nodes 1 hide_expr 73 = tai