Teh­tä­vä:
Jouk­ko-opin al­keet

Jou­kot ovat työ­ka­lu, jol­la ma­te­ma­tii­kas­sa ja tie­to­jen­kä­sit­te­ly­tie­tees­sä ra­ken­ne­taan uu­sia kä­sit­tei­tä. Jouk­ko-opin al­keet ovat vält­tä­mät­tö­mät mo­nien mui­den asioi­den, ku­ten eri­tyyp­pis­ten re­laa­tioi­den se­kä verk­ko­jen ym­mär­tä­mi­sel­le.

Jos käy­tät Math­Checkiä en­sim­mäis­tä ker­taa, niin tee en­sin teh­tä­vä Yleis­tä Math­Checkis­tä. Jos et muual­ta löy­dä mi­ten jo­kin sym­bo­li kir­joi­te­taan, niin kat­so MathCheck Brief Instructions.

Jou­kon kä­si­te ja ko­ko

Jouk­ko on ko­koel­ma al­kioi­ta. Al­kiot voi­vat ti­lan­tees­ta riip­puen ol­la mel­kein­pä mi­tä ta­han­sa. Usein ne ovat lu­ku­ja, merk­ke­jä, lu­ku­pa­re­ja tai merk­ki­jo­no­ja. Ne voi­vat myös ol­la toi­sia jouk­ko­ja. Yh­den al­kion jouk­ko ja sen al­kio ovat eri asioi­ta.

On ta­val­lis­ta il­mais­ta ää­rel­li­nen jouk­ko luet­te­le­mal­la sen al­kiot aal­to­sul­kei­den vä­lis­sä, esi­mer­kik­si {2, 5, 8, 11, 14}. Luet­te­loin­ti­jär­jes­tyk­sel­lä ei ole vä­liä. Ei ole vä­liä esiin­tyy­kö al­kio luet­te­los­sa yh­den vai useam­man ker­ran; ai­noa mi­kä mer­kit­see on, esiin­tyy­kö se ai­na­kin ker­ran vai ei yh­tään ker­taa. Niin­pä {6, 5, 5, 3, 6} on sa­ma jouk­ko kuin {3, 5, 6} eli {6, 5, 5, 3, 6} = {3, 5, 6}.

Mit­kä al­la lue­tel­luis­ta jou­kois­ta ovat sa­ma jouk­ko kuin {2, 5, 6} ?
{256}
{2, 3, 4, 5, 6}
{6, 5, 2}
{2, 2, 5, 2}
{5, 2, 2, 6, 2, 6}
{{2}, {5}, {6}}
tai

Tyh­jää jouk­koa eli jouk­koa, jos­sa ei ole yh­tään al­kio­ta, voi­tai­siin mer­ki­tä {} (ja jot­kut mer­kit­se­vät­kin), mut­ta ta­pa­na on mer­ki­tä si­tä ∅. Luet­te­loin­nis­sa voi­daan käyt­tää kol­mea pis­tet­tä … sil­loin, kun lu­ki­jal­le on sel­vää, mi­tä al­kioi­ta ne edus­ta­vat.

Ää­rel­li­sen jou­kon A al­kioi­den mää­rää mer­ki­tään |A|. Il­moi­ta seu­raa­vat jouk­ko­jen al­kioi­den mää­rät.

|{1, 0, 2, 0}| = tai
|{1, 9, 3, 7, 5, 5, 7, 3, 1}| = tai
|{8, 6, 8, 8, 6, 66, 6, 6}| = tai
|∅| = tai
|{0, 1, 2, …, 9}| = tai

Jos em­me tie­dä, mi­tä lu­ku­ja x, y, z ja t edus­ta­vat, niin ≤ |{x, y, z, t}| ≤ . (An­na mah­dol­li­sim­man tiu­kat ra­jat.)
tai

Kuu­lu­mi­nen jouk­koon ja osa­jouk­ko

Al­kion a kuu­lu­mi­nen jouk­koon mer­ki­tään a ∈ A ja sen vas­ta­koh­ta on a ∉ A. Va­lit­se to­det väit­teet.
2 ∈ {3, 1, 4, 9, 5}
5 ∈ {3, 1, 4, 9, 5}
145 ∈ {3, 1, 4, 9, 5}
{3} ∈ {3, 1, 4, 9, 5}
7 ∉ {3, 1, 4, 9, 5}
9 ∉ {3, 1, 4, 9, 5}
{1, 4} ∉ {3, 1, 4, 9, 5}
tai

Jouk­ko A on jou­kon B osa­jouk­ko, mer­ki­tään A ⊆ B, jos ja vain jos jo­kai­nen A:n al­kio on myös B:n al­kio. Niin­pä jo­kai­nen jouk­ko on it­sen­sä osa­jouk­ko, eli A ⊆ A pä­tee jo­kai­sel­le jou­kol­le A. Jos A ⊆ B ja B ⊆ A, niin A = B.

Jos ja vain jos A ⊆ B ja A ≠ B, niin A on B:n ai­to osa­jouk­ko. Se mer­ki­tään A ⊂ B. Täl­löin on ole­mas­sa jo­kin sel­lai­nen b, et­tä b ∈ B ja b ∉ A, mut­ta ei ole ole­mas­sa sel­lai­sta a, et­tä a ∈ A ja a ∉ B.

Joil­la­kin ma­te­ma­tii­kan osa-alueil­la käy­te­tään sym­bo­lia ⊂ sii­nä mer­ki­tyk­ses­sä mis­sä muut käyt­tä­vät ⊆. Jos­tain syys­tä niis­sä­kään ei käy­te­tä sym­bo­lia < sii­nä mer­ki­tyk­ses­sä mis­sä muut käyt­tä­vät ≤.

Va­lit­se to­det väit­tä­mät.
3 ⊆ {3,1,4,9,5}
{3} ⊆ {3,1,4,9,5}
{3} ⊂ {3,1,4,9,5}
{3,1,4,9,5} ⊆ {3,1,4,9,5}
{3,1,4,9,5} ⊂ {3,1,4,9,5}
tai

Va­lit­se to­det väit­tä­mät.
jo­kai­sel­la a pä­tee a ∈ ∅
jo­kai­sel­la a pä­tee a ∉ ∅
jo­kai­sel­la A pä­tee ∅ ⊆ A
jo­kai­sel­la A pä­tee ∅ ⊂ A
mil­lään A ei pä­de A ⊆ ∅
mil­lään A ei pä­de A ⊂ ∅
tai

Kuin­ka mon­ta osa­jouk­koa on seu­raa­vil­la jou­koil­la?

∅ tai
{7} tai
{19, 22} tai
{65, 56, 55} tai
{1, 2, …, n} tai

Kuin­ka mon­ta ai­toa osa­jouk­koa on jou­kol­la, jos­sa on k al­kio­ta?
tai

Lu­ku­jouk­ko­ja

Kol­mea pis­tet­tä käy­te­tään usein myös esit­tä­mään päät­ty­mä­tön­tä jo­noa al­kioi­ta. Esi­merk­ke­jä:

Mui­ta tär­kei­tä lu­ku­jouk­ko­ja ovat ℚ eli ra­tio­naa­li­lu­ku­jen jouk­ko, eli kaik­ki ne lu­vut, jot­ka voi­daan esit­tää mur­to­lu­ku­na
m
n
, mis­sä m ∈ ℤ ja n ∈ ℤ+; se­kä ℝ eli reaa­li­lu­ku­jen jouk­ko, eli kaik­ki lu­ku­suo­ran lu­vut. Jo­kai­nen ra­tio­naa­li­lu­ku on reaa­li­lu­ku mut­ta ei toi­sin­päin, eli ℚ ⊂ ℝ. Mer­kin­nät ℚ+ ja ℝ+ tar­koit­ta­vat po­si­tii­vis­ten ra­tio­naa­li­lu­ku­jen jouk­koa ja po­si­tii­vis­ten reaa­li­lu­ku­jen jouk­koa, ja ℚ− ja ℝ− vas­taa­vas­ti ne­ga­tii­vis­ten.

Va­lit­se ne ta­pauk­set, jois­sa va­sem­man reu­nan jouk­ko on ylä­ri­vin jou­kon osa­jouk­ko. Vih­jeLu­kuun­ot­ta­mat­ta ℕ:n ri­viä ja sa­ra­ket­ta, tau­luk­koon syn­tyy ku­vio jo­ka tois­tuu mon­ta ker­taa. Mie­ti siis ℕ huo­lel­li­ses­ti (ℕ on osa­puo­li kaik­kiaan 5 kyl­lä-ta­pauk­ses­sa), ja mie­ti vaik­ka ℤ:n, ℤ+:n ja ℤ−:n avul­la min­kä­lai­nen ku­vio tois­tuu.

⊆ℕℤ ℤ+ℤ− ℚℚ+ ℚ−ℝ ℝ+ℝ−
ℕ
tai
ℤ
tai
ℤ+
tai
ℤ−
tai
ℚ
tai
ℚ+
tai
ℚ−
tai
ℝ
tai
ℝ+
tai
ℝ−
tai

Jou­kon il­mai­se­mi­nen eh­don avul­la

Usein jouk­ko il­mais­taan muo­dos­sa {a | ehto} tai {a ∈ A | ehto}. Se tar­koit­taa nii­den al­kioi­den jouk­koa, jot­ka to­teut­ta­vat an­ne­tun eh­don ja jäl­kim­mäi­ses­sä ta­pauk­ses­sa myös kuu­lu­vat jouk­koon A. Siis x ∈ {a | ehto} jos ja vain jos x to­teut­taa an­ne­tun eh­don. Esi­mer­kik­si

ℕ = {n ∈ ℤ | n ≥ 0}

Täy­den­nä seu­raa­vat.

{3, 8} = {n ∈ ℕ | } tai

{12, 13, …, 95} = {n ∈ ℕ | }
tai

{0, 3, 6, 9, …} = {n ∈ ℕ | } Vih­jeKäy­tä ope­raat­to­ria mod.
tai

ℚ+ = {x ∈ ℚ | } tai

ℤ− = {x ∈ ℝ | ∈ ℕ} tai

Il­maus­ta {a | ehto} saa käyt­tää vain sil­loin, kun on so­vit­tu jo­kin jouk­ko, jon­ka al­kioi­ta kaik­ki tar­kas­tel­ta­vat al­kiot ovat. Ky­sei­nen jouk­ko voi­si siis ol­la A:n pai­kal­la il­mauk­ses­sa {a ∈ A | ehto}.

Syy tä­hän ra­joi­tuk­seen on ris­ti­rii­ta, jo­ka syn­tyy kir­joit­ta­mal­la {a | a ∉ a}. An­ne­taan täl­le ni­mi R, siis R = {a | a ∉ a}. Pä­tee­kö R ∈ R ? Se pä­tee jos ja vain jos R:n eh­to a ∉ a to­teu­tuu kun a:n pai­kal­la on R, eli jos ja vain jos R ∉ R. Siis R ∈ R jos ja vain jos R ∉ R ! Tä­mä on­gel­ma tun­ne­taan Rus­sel­lin pa­ra­dok­si­na Bert­rand Rus­sel­lin kun­niak­si, jo­ka kek­si sen vuon­na 1901. Jot­kut muut­kin kek­si­vät sen sa­moi­hin ai­koi­hin.

Ää­rel­li­set ja ää­ret­tö­mät jou­kot

Jouk­ko on ää­re­tön jos ja vain jos mi­kään mää­rä ai­kaa ja pa­pe­ria ei rii­tä sen al­kioi­den luet­te­le­mi­sek­si. Jouk­ko on ää­rel­li­nen jos ja vain jos se ei ole ää­re­tön. Ää­ret­tö­män jou­kon esit­tä­mi­ses­sä on pak­ko käyt­tää kol­mea pis­tet­tä tai jo­tain muu­ta epä­suo­raa kei­noa ker­toa, mit­kä al­kiot ovat mu­ka­na ja mit­kä ei­vät.

Jos jou­kon al­kioil­la on suu­ruus­jär­jes­tys, niin jouk­ko on ää­re­tön jos ja vain jos sii­nä on sel­lai­set al­kiot x1, x2, x3, … et­tä jom­pi­kum­pi seu­raa­vis­ta pä­tee:

Mit­kä seu­raa­vis­ta jou­kois­ta ovat ää­ret­tö­miä?
{5, 6, 7, …, 82}
{5, 6, 7, …}
{0.2222…}
{0.2, 0.22, 0.222, 0.2222, …}
tai

Mit­kä seu­raa­vis­ta jou­kois­ta ovat ää­ret­tö­miä?
{x ∈ ℚ | 5 < x < 8}
{x ∈ ℤ | 5 < x < 8}
{x ∈ ℕ | x > 3}
{x ∈ ℤ− | x > −3}
tai

Täs­mäl­li­nen ma­te­maat­ti­nen mää­ri­tel­mä on, et­tä jouk­ko on ää­re­tön, jos ja vain jos sen al­kiot voi­daan aset­taa pa­reit­tain vas­tak­kain sen ai­don osa­jou­kon al­kioi­den kans­sa. Esi­mer­kik­si jou­kol­le {1, 2, 4, 8, 16, …} tä­mä on­nis­tuu seu­raa­vas­ti: 1 ⇄ 4, 2 ⇄ 8, 4 ⇄ 16, 8 ⇄ 32, 16 ⇄ 64, …. Sym­bo­lin ⇄ va­sem­mal­la puo­lel­la ovat vuo­ron­pe­rään kaik­ki tä­män jou­kon al­kiot, mut­ta oi­keal­la puo­lel­la on niis­tä vain osa, kos­ka 1 ja 2 jää­vät puut­tu­maan. Kum­mal­la­kaan puo­lel­la ei ole mi­tään tä­hän jouk­koon kuu­lu­ma­ton­ta.

Sen si­jaan jos sa­ma yri­te­tään teh­dä jou­kol­le {1, 2, 4}, niin vaik­ka vas­taa­vuu­det va­lit­tai­siin mi­ten ta­han­sa, jou­du­taan oi­keal­la puo­lel­la käyt­tä­mään jos­sain jär­jes­tyk­ses­sä se­kä 1, 2 et­tä 4. Esi­mer­kik­si jos on ase­tet­tu 1 ⇄ 4 ja 2 ⇄ 1, niin pa­rin saa­mi­sek­si ne­lo­sel­le on pak­ko käyt­tää kak­ko­nen eli on ase­tet­ta­va 4 ⇄ 2.

Unio­ni, leik­kaus ja ero­tus

Seu­raa­vat jouk­ko-ope­raat­to­rit voi­daan mää­ri­tel­lä hel­pos­ti pro­po­si­tio­lo­gii­kan ope­raat­to­rei­den avul­la:

Siis A ∪ B si­säl­tää kaik­ki A:n al­kiot ja kaik­ki B:n al­kiot, mut­ta se ei vas­taa sa­naa ”ja” vaan sa­naa ”tai”, kos­ka al­kio kuu­luu sii­hen jos ja vain jos se kuu­luu A:han tai B:hen. Vas­taa­vas­ti A ∩ B si­säl­tää kaik­ki ne al­kiot, jot­ka ovat se­kä A:ssa et­tä B:ssä, ja A \ B kaik­ki ne, jot­ka ovat A:ssa mut­ta ei B:ssä.

Ol­koon A = {2, 4, 5, 8, 9} ja B = {3, 5, 7, 8}. Il­mai­se va­lin­noil­la seu­raa­vat jou­kot.
012 345 678 9
A ∪ B
A ∩ B
A \ B
B \ A
tai

Va­lit­se oi­keat vaih­to­eh­dot.
Edel­lä oli­si pi­tä­nyt va­li­ta jot­kin ruu­dut kah­teen ker­taan. Math­Check toi­mi vää­rin kun se ei an­ta­nut teh­dä niin.
Al­kio vain kuu­luu jouk­koon tai ei kuu­lu. Ei ole niin et­tä on eri asia, kuu­luu­ko se sin­ne yh­des­ti vai kah­des­ti. Sik­si Math­Check toi­mi oi­kein.
Tie­sin, et­tä al­kio­ta ei tar­vit­se mer­ki­tä jouk­koon kah­des­ti, vaik­ka se tu­li­si mu­kaan se­kä A:sta et­tä B:stä.
Jo­kai­nen jou­kon A ∪ B al­kio kuu­luu täs­mäl­leen yh­teen jou­kois­ta A ∩ B, A \ B ja B \ A.
tai

Jy­väs­ky­län juh­lin­ta­seu­raan kuu­luu 7 jä­sen­tä ja Kes­ki-Suo­men kek­ke­ri­ker­hoon 4 jä­sen­tä. (Esi­mer­kin lu­vut ovat pie­net, jot­ta esi­merk­kiä oli­si help­po miet­tiä.) Sa­ma hen­ki­lö voi ol­la jä­se­ne­nä mo­lem­mis­sa. Kuin­ka mon­ta hen­ki­löä niis­sä on yh­teen­sä, kun kak­sois­jä­se­net las­ke­taan vain ker­taal­leen? Vas­taus­ta ei voi an­taa yh­te­nä lu­ku­na, kos­ka tark­ka lu­ku­ar­vo riip­puu tie­dos­ta, jo­ka puut­tuu: kuin­ka pal­jon kak­sois­jä­se­niä on. Sik­si vas­tauk­ses­sa pi­tää lue­tel­la kaik­ki mah­dol­li­suu­det, jot­ka voi­vat syn­tyä em. tie­doil­la. Se on­nis­tuu sa­no­mal­la, et­tä mu­ka­na on yh­teen­sä vä­hin­tään ja enin­tään hen­ki­löä.
tai

Edel­li­sen koh­dan vas­taus on jouk­ko­na il­mais­tu­na
{n ∈ ℕ | } tai

Ol­koon |A| = n ja |B| = m. Kuin­ka pal­jon |A ∩ B| voi ol­la? Vas­tausMi­tä ta­han­sa vä­lil­tä 0, …, min(n, m). Jos A:lla ja B:llä ei ole lain­kaan yh­tei­siä al­kioi­ta, pä­tee |A ∩ B| = 0. Niil­lä voi ol­la enin­tään min(n, m) yh­teis­tä al­kio­ta. Min­kä ta­han­sa vä­li­ta­pauk­sen saa to­teu­tu­maan esi­mer­kik­si va­lit­se­mal­la A = {1, …, n} ja B = {1, …, l, n + 1, …, n + m − l}, mis­sä l on ha­lut­tu yh­teis­ten al­kioi­den mää­rä.

Mer­kit­sem­me n = |A|, m = |B| ja l = |A ∩ B|. Näil­lä pä­tee |A ∪ B| = ja |A \ B| = .
tai

Kos­ka al­kio kuu­luu eh­dol­la mää­ri­tel­tyyn jouk­koon jos ja vain jos se to­teut­taa ko. eh­don, saam­me kol­me help­poa la­kia:

Unio­nia, leik­kaus­ta ja ero­tus­ta kos­ke­via la­ke­ja on help­po joh­taa näi­den la­kien ja pro­po­si­tio­lo­gii­kan avul­la. Joh­dam­me mal­lik­si toi­sen jouk­ko-opin de Mor­ga­nin laeis­ta.

x ∈ A \ (B ∪ C)
(1)  ⇔   x ∈ A ∧ x ∉ B ∪ C
(2)  ⇔   x ∈ A ∧ ¬(x ∈ B ∪ C)
(3)  ⇔   x ∈ A ∧ ¬(x ∈ B ∨ x ∈ C)
(4)  ⇔   x ∈ A ∧ (¬(x ∈ B) ∧ ¬(x ∈ C))
(5)  ⇔   x ∈ A ∧ x ∉ B ∧ x ∉ C
(6)  ⇔   (x ∈ A ∧ x ∉ B) ∧ (x ∈ A ∧ x ∉ C)
(7)  ⇔   x ∈ A \ B ∧ x ∈ A \ C
(8)  ⇔   x ∈ (A \ B) ∩ (A \ C)

Mi­tä al­la lue­tel­tu­ja la­ke­ja tä­män päät­te­lyn eri as­ke­lis­sa so­vel­let­tiin?
123 456 78
jo­kin em. kol­mes­ta hel­pos­ta
x ∉ X  ⇔  ¬(x ∈ X)
lo­gii­kan de Mor­gan
P ∧ P  ⇔  P
tai

Olem­me osoit­ta­neet mie­li­val­tai­sel­le al­kiol­le x, et­tä se kuu­luu jouk­koon A \ (B ∪ C) jos ja vain jos se kuu­luu jouk­koon (A \ B) ∩ (A \ C). Niin­pä näil­lä kah­del­la jou­kol­la on sa­mat al­kiot, eli A \ (B ∪ C) = (A \ B) ∩ (A \ C).

Tu­lo­jouk­ko

Seu­raa­va tär­keä jouk­ko-opin ope­raat­to­ri on tu­lo­jouk­ko eli kar­tee­si­nen tu­lo A × B. Sen al­kiot ovat ne pa­rit (a, b), joil­le a ∈ A ja b ∈ B. Siis

A × B = {(x, y) | x ∈ A ∧ y ∈ B} Huo­mau­tusTä­mä­kin rik­koo edel­lä ol­lut­ta mer­kin­nän {a | ehto} käyt­töä kos­ke­vaa sään­töä, mutta on muis­ta syis­tä pä­te­vä.

Esi­mer­kik­si {1, 2} × {3, 4, 5} =

{(1, 3),(1, 4),(1, 5),
(2, 3),(2, 4),(2, 5)}

Voi­daan myös ker­toa kol­me tai useam­pia jouk­ko­ja. Esi­mer­kik­si A × B × C × D koos­tuu ne­li­kois­ta (a, b, c, d), mis­sä a ∈ A, b ∈ B, c ∈ C ja d ∈ D. Mer­kin­tä A2 tar­koit­taa A × A, A3 = A × A × A jne. Niin­pä tut­tu x–y-koor­di­naa­tis­to esit­tää jou­kon ℝ2.

Seu­raa­vis­sa teh­tä­vis­sä va­lit­se jou­kon al­kiot.

{(x, y) ∈ {0, 1, 2}2 | x < y }
(0, 0)(0, 1)(0, 2)(1, 0)(1, 1) (1, 2)(2, 0)(2, 1)(2, 2)
tai

{(x, y) ∈ {0, 1, 2}2 | xy = 0 ∨ x(y − 2) = 0 }
(0, 0)(0, 1)(0, 2)(1, 0)(1, 1) (1, 2)(2, 0)(2, 1)(2, 2)
tai

{(x, y) ∈ {0, 1, 2}2 | (x2 + 1) mod 3 = y }
(0, 0)(0, 1)(0, 2)(1, 0)(1, 1) (1, 2)(2, 0)(2, 1)(2, 2)
tai

Jos |A| = n, |B| = m ja |C| = k, niin kuin­ka pal­jon on |A × B × C| ?
tai

Mo­ni tär­keä ma­te­ma­tii­kan kä­si­te pe­rus­tuu tu­lo­jouk­koi­hin, ku­ten re­laa­tio, funk­tio ja graa­fi. Oh­jel­moin­nis­sa tu­lo­jou­kot vas­taa­vat tie­tuei­ta, alioh­jel­mien pa­ra­met­ri­lis­to­ja ja yli­pää­tään kaik­kea, mis­sä (mah­dol­li­ses­ti eri­tyyp­pi­siä) olen­to­ja koo­taan kiin­teän mit­tai­sik­si ra­ken­teik­si. Mut­ta em­me ah­neh­di kaik­kea ker­ral­la, vaan lo­pe­tam­me täl­lä ker­taa tä­hän ja jat­kam­me tois­te.