47
348
2259
113610
12 34
f(m, n) =
(m + n)(m + n − 1)
2
 − m + 1

Teh­tä­vä:
Ra­tio­naa­li­lu­ku­jen jouk­ko on nol­la­mi­tal­li­nen

Ly­hyt Math­Check-oh­je (uu­teen vä­li­leh­teen)

Täs­sä teh­tä­väs­sä to­dis­te­taan kah­des­sa vai­hees­sa asia, jo­ka on hy­vin jär­jen­vas­tai­nen, mut­ta sil­ti tot­ta. Saa­ta­va tu­los se­lit­tää var­sin pit­käl­le, mik­si tie­to­ko­neet pär­jää­vät ko­ko­nais­lu­ku­jen kans­sa pal­jon pa­rem­min kuin reaa­li­lu­ku­jen kans­sa. Ma­te­maat­tis­ten tai­to­jen osal­ta teh­tä­väs­sä on ky­se mie­li­ku­va­na hah­mo­te­tun ti­lan­teen esit­tä­mi­ses­tä ja kä­sit­te­le­mi­ses­tä yk­sin­ker­tai­si­na lau­sek­kei­na ja suu­ruus­jär­jes­tys­ver­tai­lui­na.

Ra­tio­naa­li­lu­ku­jen jouk­ko on nu­me­roi­tu­va

Tar­vit­sem­me funk­tion f(m, n), jo­ka tuot­taa seu­raa­van ku­van mu­kai­set ar­vot, kun m ja n ovat po­si­tii­vi­sia ko­ko­nais­lu­ku­ja. Se saa siis pe­räk­käi­set ar­vot, kun ede­tään va­sem­mal­ta vi­nos­ti alas oi­keal­le ja ai­na ala­reu­nan koh­dal­la siir­ry­tään va­sem­paan reu­naan yh­tä py­kä­lää kor­keam­mal­le kuin edel­li­sel­lä ker­ral­la.

47
348
2259
113610
12 34

f(3, 3) = tai

Jat­kon kan­nal­ta riit­tää, et­tä sel­lai­nen funk­tio on ole­mas­sa. Em­me tu­le tar­vit­se­maan sen lau­se­ket­ta. Ohei­nen ku­va on it­ses­sään pä­te­vä to­dis­tus sil­le, et­tä sel­lai­nen funk­tio on ole­mas­sa.

Funk­tion lau­sek­keen tut­ki­mi­nen tar­joaa kui­ten­kin hy­viä har­joi­tuk­sia muun muas­sa ar­gu­ment­tiin si­joit­ta­mi­ses­ta ja sie­ven­tä­mi­ses­tä. Si­tä­pait­si lau­sek­keen ra­ken­ta­mis­ta­pa on hyö­dyl­li­nen muis­sa yh­teyk­sis­sä, esi­mer­kik­si kun ha­lu­taan tal­let­taa kau­pun­kien vä­lis­ten etäi­syyk­sien tau­luk­ko si­ten, et­tä ku­kin etäi­syys tal­le­te­taan vain yh­teen suun­taan. Sik­si osoi­tam­me, et­tä funk­tiol­lam­me on al­la ole­va lau­se­ke.

f(m, n)  = 
(m + n)(m + n − 1)
2
 − m + 1

Las­ke f(1, 1). Kyl­lä­hän si­nä näet he­ti ku­vas­ta mi­tä sii­tä pi­täi­si tul­la, mut­ta las­ke se sil­ti f:n lau­sek­kees­ta. Se on help­po pääs­sä­las­ku.
tai

Va­lit­se oi­kea. Voit vaik­ka las­kea pääs­sä­si f(2, 1) ja f(1, 2), niin vas­tauk­sen pi­täi­si sel­vi­tä.
m kas­vaa oi­keal­le ja n ylös.
m kas­vaa ylös ja n oi­keal­le.
tai

Seu­raa­vien ky­sy­mys­ten vas­taus­ruu­duis­sa on va­rat­tu ti­laa vä­li­vai­heel­le ja lop­pu­tu­lok­sel­le. Vä­li­vai­het­ta ei ole pak­ko kir­joit­taa. Jos kir­joi­tat sen, lai­ta sen ja lop­pu­tu­lok­sen vä­liin =. Voit tar­kas­tut­taa vä­li­vai­heen Math­Checkil­lä en­nen =-mer­kin ja lop­pu­tu­lok­sen kir­joit­ta­mis­ta.

Sie­ven­nä f(1, n).
tai

Sie­ven­nä f(m, 1).
tai

Ole­ta, et­tä ei ol­la ala­ri­vil­lä 1 3 6 10 …. Kun ede­tään vi­not­tain oi­keal­le alas, niin mi­kä koh­ta tu­lee koh­dan (m, n) jäl­keen seu­raa­va­na?
,  ) tai

Ku­van mu­kaan f(m, n):n ar­vo kas­vaa yh­del­lä kun ede­tään yk­si as­kel oi­keal­le alas, mut­ta ol­lak­sem­me var­mo­ja päät­te­lem­me f:n lau­sek­kees­ta, et­tä näin to­del­la on. Il­mai­se m:n ja n:n (tai toi­sen tai ei kum­man­kaan) funk­tio­na, mi­ten seu­raa­vien lau­sek­kei­den ar­vot muut­tu­vat, kun ede­tään yk­si as­kel oi­keal­le alas. Esi­mer­kik­si jos ar­ve­let, et­tä ar­vo pie­ne­nee (n + 3):n ver­ran, kir­joi­ta -(n+3).

m + n tai
m + n − 1 tai
(m + n)(m + n − 1)
2
tai
m + 1 tai
f(m, n) tai

Kun on pääs­ty alim­mal­le ri­vil­le, jat­ke­taan seu­raa­van vi­nos­ti alas vie­vän lin­jan al­kuun. Esi­mer­kik­si nu­me­ro 6 on koh­das­sa (1, 3) ja seu­raa­va nu­me­ro 7 on koh­das­sa (4, 1). Siis koh­das­ta (1, n) jat­ke­taan koh­taan
,  ). tai

Täs­sä­kin as­ke­lees­sa f:n ar­von pi­tää kas­vaa yh­del­lä. On siis osoi­tet­ta­va, et­tä f(uu­si koh­ta) − f(1, n) = 1. Nyt­kin vä­li­vai­heil­le on va­rat­tu ti­laa. Muis­tut­taa­ko­han jom­pi kum­pi tai mo­lem­mat kah­des­ta ylim­mäs­tä jo­ta­kin, jo­hon olet vas­tan­nut jo ai­kai­sem­min?

f(uu­si koh­ta) = Vih­jeKun las­ke­taan f(uu­si koh­ta), niin mi­kä tu­lee m:n pai­kal­le f:n kaa­vas­sa? En­tä mi­kä tu­lee n:n pai­kal­le?
tai

f(1, n) =
tai

f(uu­si koh­ta) − f(1, n) =
tai

Olem­me osoit­ta­neet, et­tä f(m, n) tuot­taa alun ku­van mu­kai­set ar­vot.

Täs­tä seu­raa vä­lit­tö­mäs­ti, et­tä kaik­ki pa­rit (m, n), mis­sä m ∈ ℤ+ ja n ∈ ℤ+, saa­daan jo­noon jo­ka al­kaa mut­ta ei pää­ty. Jo­kai­nen pa­ri on jo­nos­sa täs­mäl­leen ker­ran, ni­mit­täin koh­das­sa f(m, n).

Täs­sä vai­hees­sa on hy­vä täs­men­tää, mi­tä ma­te­maa­tik­ko tar­koit­taa, kun hän pu­huu päät­ty­mät­tö­mäs­tä jo­nos­ta. Päät­ty­mät­tö­män jo­non pai­kat voi­daan nu­me­roi­da po­si­tii­vi­sil­la ko­ko­nais­lu­vuil­la: paik­ka 1, paik­ka 2, paik­ka 3, …. Sel­lai­sel­la luet­te­lol­la on al­ku mut­tei lop­pua. Jo­kai­sen al­kion pe­räs­sä (siis oi­keal­la puo­lel­la) on ää­ret­tö­mäs­ti al­kioi­ta, mut­ta min­kään al­kion edes­sä (eli va­sem­mal­la puo­lel­la) ei ole ää­ret­tö­mäs­ti al­kioi­ta. Juu­ri sel­lai­sen luet­te­lon teim­me äs­ken. Sii­nä al­kion (m, n) paik­ka on f(m, n), ja var­mis­tim­me huo­lel­li­ses­ti, et­tä eri al­kiot sai­vat eri pai­kat.

Mit­kä seu­raa­vis­ta ovat päät­ty­mät­tö­miä jo­no­ja? Mie­ti ja sit­ten ko­kei­le jo­kai­nen, myös ”ei”-ta­pauk­set, olit­ko oi­keil­la jäl­jil­lä.
0, 1, 2, 3
…, −2, −1, 0, 1, 2, …
0, −1, 1, −2, 2, …
1, 2, 3, …, 0
0, 1, 2, …, −1, −2, −3, …
0, 0, 0, 0, 0, …
tai

Jou­kon sa­no­taan ole­van nu­me­roi­tu­va, jos ja vain jos se on ää­rel­li­nen tai sen al­kiot voi­daan aset­taa päät­ty­mät­tö­mään jo­noon. Muut jou­kot ovat yli­nu­me­roi­tu­via.

Ra­tio­naa­li­lu­vul­la tar­koi­te­taan lu­kua, jo­ka voi­daan esit­tää mur­to­lu­ku­na eli muo­dos­sa
m
n
, mis­sä m ∈ ℤ ja n ∈ ℤ+. Myös ko­ko­nais­lu­vut ovat ra­tio­naa­li­lu­ku­ja, kos­ka m =
m
1
(siis esi­mer­kik­si 5 =
5
1
). Jo­kai­sel­la ra­tio­naa­li­lu­vul­la on ää­ret­tö­män mon­ta esi­tys­tä mur­to­lu­ku­na, kos­ka
m
n
=
2m
2n
=
3m
3n
= ….

Va­lit­se oi­keat vaih­to­eh­dot kos­kien ra­tio­naa­li­lu­ku­ja
m
n
ja edel­lä ke­hi­tet­tyä f(m, n).
f(m, n) lait­taa kaik­ki ra­tio­naa­li­lu­vut jo­noon si­ten, et­tä jo­kai­nen esiin­tyy täs­mäl­leen ker­ran.
f(m, n) lait­taa kaik­ki ra­tio­naa­li­lu­vut jo­noon si­ten, et­tä jo­kai­nen esiin­tyy ai­na­kin ker­ran.
f(m, n) lait­taa kaik­ki po­si­tii­vi­set ra­tio­naa­li­lu­vut jo­noon si­ten, et­tä jo­kai­nen esiin­tyy täs­mäl­leen ker­ran.
f(m, n) lait­taa kaik­ki po­si­tii­vi­set ra­tio­naa­li­lu­vut jo­noon si­ten, et­tä jo­kai­nen esiin­tyy ai­na­kin ker­ran.
Kaik­kia ra­tio­naa­li­lu­ku­ja ei voi lait­taa jo­noon, kos­ka jo­no ei saa jat­kua lo­put­to­mas­ti va­sem­mal­le.
Kaik­ki ra­tio­naa­li­lu­vut voi lait­taa jo­noon lait­ta­mal­la nol­la en­sin ja sit­ten ne­ga­tii­vi­set ja po­si­tii­vi­set vuo­ro­tel­len.
tai

Jo­kai­nen nu­me­roi­tu­va reaa­li­lu­ku­jen osa­jouk­ko on nol­la­mi­tal­li­nen

Ol­koon p po­si­tii­vi­nen reaa­li­lu­ku. Jos tik­ku, jon­ka pi­tuus on p, ase­te­taan lu­ku­suo­ral­le si­ten, et­tä ti­kun kes­ki­koh­ta on koh­das­sa k, niin se peit­tää täs­mäl­leen reaa­li­lu­vut < x < .
tai

Käy­tim­me ver­tai­lua < ei­kä ≤, kos­ka jat­kon kan­nal­ta kum­pi­kin kel­pai­si ja jo­tain pi­ti va­li­ta. Va­lin­ta < joh­taa hi­tu­sen dra­maat­ti­sem­paan lop­pu­tu­lok­seen kuin ≤, kos­ka sen mu­kaan tik­ku peit­tää hiu­kan vä­hem­män lu­ku­ja: ti­kun pää­te­pis­teet ei­vät pei­tä mi­tään.

Kat­kai­sem­me ti­kun kes­kel­tä kah­tia ja pei­täm­me toi­sel­la puo­lik­kaal­la lu­vun
1
1
. Ti­kun puo­li­kas peit­tää reaa­li­lu­vut < x < .
tai

Kat­kai­sem­me jäl­jel­le jää­neen ti­kun puo­lik­kaan kes­kel­tä kah­tia ja pei­täm­me toi­sel­la osal­la lu­vun
2
1
. Ti­kun nel­jän­nes peit­tää reaa­li­lu­vut < x < .
tai

Kat­kai­sem­me jäl­jel­le jää­neen ti­kun­pät­kän kes­kel­tä kah­tia ja pei­täm­me toi­sel­la osal­la lu­vun
1
2
. Ti­kun kah­dek­sas­osa peit­tää reaa­li­lu­vut < x < .
tai

Näin voi­daan jat­kaa ja peit­tää
3
1
,
2
2
,
1
3
,
4
1
,
3
2
ja niin edel­leen, ede­ten alus­sa ol­leen ku­van mu­kaan lo­put­to­mas­ti. Kos­ka Math­Check ei osaa mer­kin­tää f(m, n) ja kos­ka en ha­lua käs­keä si­nua kir­joit­ta­maan f(m, n):n pit­kää lau­se­ket­ta, käy­täm­me kir­jain­ta f nii­den ti­lal­la. Siis f = f(m, n). Lu­vun
m
n
peit­tä­jäk­si tu­lee ti­kun­pät­kä, jon­ka pi­tuus on .
tai
Mur­to­lu­ku­jen peit­tä­mi­nen ti­kun­pät­kil­lä

Ti­kun­pät­kiä me­nee pääl­lek­käin. Esi­mer­kik­si jos p = 4, niin se ti­kun­pät­kä, jol­la pei­te­tään
1
2
, me­nee ko­ko pi­tuu­del­taan pääl­lek­käin ja se ti­kun­pät­kä, jol­la pei­te­tään
2
1
, me­nee osit­tain pääl­lek­käin sen ti­kun­pät­kän kans­sa, jol­la pei­tet­tiin
1
1
.

Jos reaa­li­lu­kua p pie­nen­ne­tään, pääl­lek­käi­syys vä­he­nee, mut­ta ei kui­ten­kaan ka­toa ko­ko­naan. Vaik­ka p oli­si kuin­ka pie­ni po­si­tii­vi­nen reaa­li­lu­ku ta­han­sa, jo­kai­nen ti­kun­pät­kä peit­tää mui­ta­kin mur­to­lu­ku­ja kuin kes­ki­koh­tan­sa al­le jää­vän. Si­tä­pait­si jo­kai­nen mur­to­lu­ku pei­te­tään ää­ret­tö­män mo­nel­la ti­kun­pät­käl­lä, joi­den kes­ki­koh­ta on mur­to­lu­vun pääl­lä. Lu­vun
m
n
peit­tä­jäk­si tu­lee pait­si se ti­kun­pät­kä, jon­ka jär­jes­tys­nu­me­ro on f(m, n), myös ne, joi­den jär­jes­tys­nu­me­rot ovat f(2m, 2n), f(3m, 3n), …, kos­ka
m
n
=
2m
2n
=
3m
3n
= ….

Olem­me siis peit­tä­neet jo­kai­sen po­si­tii­vi­sen ra­tio­naa­li­lu­vun, vie­lä­pä ää­ret­tö­män mo­neen ker­taan, yh­des­tä ti­kus­ta lei­ka­tuil­la pät­kil­lä. Ti­kun pi­tuus p on mie­li­val­tai­nen po­si­tii­vi­nen reaa­li­lu­ku. Se voi ol­la 1, 0.1 tai vaik­ka 0.0000000001.

Lu­ku­suo­ran nol­las­ta oi­keal­le me­ne­vä puo­li­suo­ra on ää­ret­tö­män pi­tui­nen. Näyt­tää ikään kuin oli­sim­me peit­tä­neet sen ää­rel­li­sen pi­tui­ses­ta ja­nas­ta lei­ka­tuil­la pät­kil­lä. It­se asias­sa ja­na saa ol­la mi­ten ly­hyt ta­han­sa pait­si nol­lan pi­tui­nen (eli sen pi­tuus p saa ol­la mi­ten pie­ni po­si­tii­vi­nen reaa­li­lu­ku ta­han­sa). Tä­mä tun­tuu jär­jen­vas­tai­sel­ta.

Tä­män on­gel­man rat­kai­su koos­tuu kol­mes­ta osas­ta.

En­sik­si, on hy­vä huo­ma­ta he­ti al­kuun, et­tä on­gel­ma ei kos­ke to­del­lis­ta fy­si­kaa­lis­ta maail­maam­me vaan ma­te­maat­tis­ten abst­rak­tioi­den maail­maa. To­del­lis­ta tik­kua ei voi puo­lit­taa mi­ten mon­ta ker­taa ta­han­sa. To­del­li­nen tik­ku ei voi ol­la ly­hyem­pi kuin esi­mer­kik­si ato­mi.

Toi­sek­si, lu­ku­suo­ral­la on pal­jon mui­ta­kin lu­ku­ja kuin ra­tio­naa­li­lu­vut. It­se asias­sa lu­ku­suo­ran lu­vuis­ta mi­tät­tö­män pie­ni osa on ra­tio­naa­li­lu­ku­ja. Tä­mä voi­daan to­dis­taa mo­nel­la eri ta­val­la. Juu­ri lä­pi­käy­ty to­dis­tus osoit­taa, et­tä po­si­tii­vis­ten ra­tio­naa­li­lu­ku­jen yh­teen­sä peit­tä­mä pi­tuus on nol­la. Tä­mä pä­tee vaik­ka to­dis­tuk­ses­sa ei käy­tet­ty nol­lan pi­tuis­ta tik­kua, sil­lä va­lit­set­pa min­kä ta­han­sa reaa­li­lu­vun r > 0, saat sen kans­sa enin­tään yh­tä­suu­ren po­si­tii­vi­sen ra­tio­naa­li­lu­vun q kat­kai­se­mal­la sen de­si­maa­li­esi­tyk­sen en­sim­mäi­sen nol­las­ta poik­kea­van de­si­maa­lin jäl­keen. Sen jäl­keen va­lit­se­mal­la p =
q
2
to­dis­tus osoit­taa, et­tä po­si­tii­vis­ten ra­tio­naa­li­lu­ku­jen yh­teen­sä peit­tä­mä pi­tuus on vä­hem­män kuin r. Kos­ka se on vä­hem­män kuin mi­kä ta­han­sa po­si­tii­vi­nen reaa­li­lu­ku (ja kos­ka pi­tuus ei voi ol­la ne­ga­tii­vi­nen), se on nol­la. Sa­no­taan, et­tä po­si­tii­vis­ten ra­tio­naa­li­lu­ku­jen jouk­ko on nol­la­mi­tal­li­nen.

Pei­tim­me edel­lä ti­kun­pät­kil­lä kaik­ki po­si­tii­vi­set ra­tio­naa­li­lu­vut, mut­ta sa­ma päät­te­ly toi­mii jo­kai­sel­le nu­me­roi­tu­val­le lu­ku­jou­kol­le. Sik­si jo­kai­nen nu­me­roi­tu­va lu­ku­jouk­ko on nol­la­mi­tal­li­nen.

Kol­man­nek­si, niin omi­tui­sel­ta kuin se tun­tuu­kin, mie­li­val­tai­sen pi­tui­nen tik­ku (pait­si nol­lan pi­tui­nen) to­del­la riit­tää peit­tä­mään suo­ran pis­tei­tä si­ten, et­tä vaik­ka jo­kais­ta pis­tet­tä ei pei­te­tä­kään, jo­kai­sen pei­te­tyn pis­teen lä­hel­lä on pei­tet­ty pis­te. Hy­vin lä­hel­lä. Va­lit­set­pa min­kä ta­han­sa reaa­li­lu­vun x ja min­kä ta­han­sa po­si­tii­vi­sen reaa­li­lu­vun r, lu­ku­jen x − r ja x + r vä­lil­lä on ää­ret­tö­män mon­ta ra­tio­naa­li­lu­kua. Esi­mer­kik­si lu­ku y, jo­ka saa­daan kat­kai­se­mal­la x:n de­si­maa­li­esi­tys k de­si­maa­lin jäl­keen, on ra­tio­naa­li­lu­ku jo­ka poik­keaa x:stä enin­tään 10k:n ver­ran. Va­lit­se­mal­la tar­peek­si suu­ri k saa­daan x − r < y < x + r. Sii­hen riit­tää k ≥ ⌊1 − log r⌋.

Ih­mis­kun­nal­la on ol­lut vai­keuk­sia löy­tää, mi­ten tä­mä asia­ko­ko­nai­suus me­nee ja hy­väk­syä, et­tä niin se me­nee. Se, et­tä on mui­ta­kin lu­ku­ja kuin ra­tio­naa­li­lu­vut, kek­sit­tiin an­tii­kin ai­ka­na. Le­gen­da ker­too, et­tä kek­sin­tö jär­kyt­ti ai­ka­lai­sia niin pa­has­ti, et­tä he tap­poi­vat kek­si­jän ni­mel­tä Hip­pa­sus. Yli­nu­me­roi­tu­vuu­den kek­si­jä Georg Can­tor (1845–1918) koh­ta­si pal­jon jyrk­kää vas­tus­tus­ta muil­ta ma­te­maa­ti­koil­ta. Elä­män­sä vii­mei­set yli 30 vuot­ta Can­tor kär­si tois­tu­vas­ta ma­sen­nuk­ses­ta. Ny­kyi­sin Can­to­rin kat­so­taan ol­leen oi­keas­sa ja hä­nen vas­tus­ta­jien­sa vää­räs­sä, ja Can­to­rin tu­lok­sia pi­de­tään erit­täin mer­kit­tä­vi­nä.

Ny­kyi­sin­kin ne­tin kes­kus­te­lu­pals­toil­ta löy­tyy sin­nik­käi­tä kes­kus­te­li­joi­ta (tai eh­kä ei oi­keas­taan kes­kus­te­li­joi­ta vaan vän­kää­jiä), jot­ka väit­tä­vät ku­mon­neen­sa yli­nu­me­roi­tu­vuu­den ole­mas­sa­olon. Kak­si muu­ta tu­los­ta, joi­ta vas­taan hyö­kä­tään ne­tis­sä rai­voi­sas­ti, ovat Gö­de­lin epä­täy­del­li­syys­lau­seet, jo­ka on mo­der­nin lo­gii­kan mah­dol­li­ses­ti tär­kein saa­vu­tus; se­kä py­säh­ty­mis­tes­te­rin ole­mat­to­muus, jo­ka on kes­kei­nen teo­reet­ti­ses­sa tie­to­jen­kä­sit­te­ly­tie­tees­sä. Kah­den vii­mek­si mai­ni­tun vä­lil­lä on lä­hei­nen yh­teys, ei­vät­kä ne ole yli­nu­me­roi­tu­vuu­des­ta tol­kut­to­man kau­ka­na.

Täl­lä alal­la saa­vu­te­tuis­sa tu­lok­sis­sa ei ole si­säi­siä ris­ti­rii­tai­suuk­sia, mo­ni tu­los viit­taa sa­maan suun­taan, ja lä­hes kaik­ki asian­tun­ti­jat hy­väk­sy­vät ne. Sil­tä va­ral­ta, et­tä olet se ne­ro, jo­ka huo­maa mi­kä sii­nä kai­kes­sa on vi­ka­na ja kek­sii pa­rem­man teo­rian, ha­luan an­taa yh­den neu­von. En­nen kuin alat ju­lis­taa uut­ta op­pia­si maail­mal­le, pi­dä huo­li, et­tä tie­dät hy­vin, hy­vin tar­kas­ti, mi­ten ny­kyi­nen op­pi me­nee. Muu­ten ku­kaan asian­tun­ti­ja ei kuun­te­le si­nua.

Koet­pa it­se­si ne­rok­si tai et, eh­kä on pa­rem­pi, et­tä et tu­tus­tu Ba­nach-Tars­kin pa­ra­dok­siin ☺.

Nyt kun on jon­kin ai­kaa jaa­ri­tel­tu, kat­so­taan­pa, muis­tat­ko tär­keim­mät täs­sä teh­tä­väs­sä esi­tel­lyt kä­sit­teet.

Tar­kas­te­lun koh­tee­na on {a, b}+ eli kaik­kien mer­keis­tä a ja b koos­tu­vien epä­tyh­jien ää­rel­lis­ten merk­ki­jo­no­jen jouk­ko.
Jouk­koa {a, b}+ ei voi esit­tää päät­ty­mät­tö­mä­nä jo­no­na.
a, b, aa, ab, ba, bb, aaa, … on {a, b}+ päät­ty­mät­tö­mä­nä jo­no­na.
{a, b}+ voi­daan esit­tää päät­ty­mät­tö­mä­nä jo­no­na aak­kos­jär­jes­tyk­ses­sä. Aluk­si ovat kaik­ki a-al­kui­set, sit­ten kaik­ki b-al­kui­set. a-al­kuis­ten aluk­si on a, sit­ten kaik­ki aa-al­kui­set ja lo­puk­si kaik­ki ab-al­kui­set. b-al­kuis­ten aluk­si on b, sit­ten kaik­ki ba-al­kui­set ja lo­puk­si kaik­ki bb-al­kui­set. Näin jat­ke­taan.
tai

Jouk­ko {4, 5, 6} on nu­me­roi­tu­va.
Reaa­li­lu­ku­jen jouk­ko on nu­me­roi­tu­va.
Reaa­li­lu­ku­jen jouk­ko on yli­nu­me­roi­tu­va.
Ra­tio­naa­li­lu­ku­jen jouk­ko on nu­me­roi­tu­va.
Ra­tio­naa­li­lu­ku­jen jouk­ko on yli­nu­me­roi­tu­va.
Ko­ko­nais­lu­ku­jen jouk­ko on nu­me­roi­tu­va.
tai

Tä­mä riit­tä­köön täl­lä ker­taa!