Teh­tä­vä:
Yh­tä­löi­den rat­kai­se­mi­nen, osa 1

Ly­hyt Math­Check-oh­je (uu­teen vä­li­leh­teen)

Yh­tä­lö syn­tyy mer­kit­se­mäl­lä kak­si lau­se­ket­ta yh­tä­suu­rik­si, esi­mer­kik­si

`7 sqrt(|x| - 1) = x+9` .

Täs­sä teh­tä­väs­sä lau­sek­keis­sa käy­te­tään vain yh­tä muut­tu­jaa. Yh­tä­lön juu­ri on lu­ku, jon­ka si­joit­ta­mi­nen muut­tu­jan pai­kal­le saa lau­sek­keet tuot­ta­maan sa­man lu­vun. Jos esi­mer­kin yh­tä­lös­sä si­joi­te­taan `x := 5`, mo­lem­mat puo­let tuot­ta­vat 14, jo­ten 5 on esi­mer­kin juu­ri. Si­joi­tuk­sel­la `x := 1` va­sen puo­li tuot­taa 0 ja oi­kea 10, jo­ten 1 ei ole esi­mer­kin juu­ri. Lu­ku ei ole juu­ri myös­kään sil­loin kun se si­joit­ta­mal­la toi­ses­ta tai mo­lem­mis­ta puo­lis­ta tu­lee mää­rit­te­le­mä­tön.

Mit­kä seu­raa­vis­ta ovat yh­tä­lön `sqrt(x) = (2x)/(x+1)` juu­ria?
−2−101
tai

Yh­tä­lön rat­kai­se­mi­nen tar­koit­taa kaik­kien juur­ten et­si­mis­tä. Usein rat­kai­se­mi­nen ete­nee loo­gis­ten yh­tä­pi­tä­vyyk­sien kaut­ta. Loo­gi­nen yh­tä­pi­tä­vyys mer­ki­tään si­joit­ta­mal­la kah­den väit­tä­män vä­liin `hArr`. Sil­lä tar­koi­te­taan, et­tä väit­tä­mät ovat tot­ta täs­mäl­leen sa­moil­la muut­tu­jan ar­voil­la. Loo­gi­nen yh­tä­pi­tä­vyys ei pä­de, jos yh­del­lä­kin muut­tu­jan ar­vol­la toi­nen väit­tä­mis­tä on tot­ta ja toi­nen ei.

Mit­kä seu­raa­vis­ta loo­gi­sis­ta yh­tä­pi­tä­vyyk­sis­tä ovat pä­te­viä? Nii­tä on useam­pia kuin yk­si. Ko­kei­le vuo­ro­tel­len kaik­ki vaih­to­eh­dot ja lue Math­Checkin an­ta­ma pa­lau­te, jot­ta löy­dät var­mas­ti kaik­ki pä­te­vät ja osaat pe­rus­tel­la muis­ta, mik­si ne ei­vät ole pä­te­viä!
`x > 0 hArr x != 0`
`x^2 > 0 hArr x != 0`
`x = 2 hArr 3x - 6 = 0`
`x+1 = x hArr 0 = 1`
`1/x >= 0 hArr x >= 0`
`sqrt x >= 0 hArr x >= 0`
tai

Va­lit­se oi­keat vaih­to­eh­dot.
Yk­si­kin muut­tu­jan ar­vo, jol­la toi­nen puo­li on tot­ta ja toi­nen ei, te­kee loo­gi­ses­ta yh­tä­pi­tä­vyy­des­tä epä­pä­te­vän.
Yk­si­kin muut­tu­jan ar­vo, jol­la kum­pi­kaan puo­li ei ole tot­ta, te­kee loo­gi­ses­ta yh­tä­pi­tä­vyy­des­tä epä­pä­te­vän.
Yk­si­kin muut­tu­jan ar­vo, jol­la mo­le­mat puo­let ovat tot­ta, te­kee loo­gi­ses­ta yh­tä­pi­tä­vyy­des­tä pä­te­vän.
Loo­gi­nen yh­tä­pi­tä­vyys on pä­te­vä sil­loin ja vain sil­loin, kun jo­kai­sel­la muut­tu­jan ar­vol­la mo­lem­mat puo­let ovat tot­ta.
Loo­gi­nen yh­tä­pi­tä­vyys on pä­te­vä sil­loin ja vain sil­loin, kun jo­kai­sel­la muut­tu­jan ar­vol­la jo­ko mo­lem­mat puo­let ovat tot­ta tai kum­pi­kaan puo­li ei ole tot­ta. (Saa ol­la niin, et­tä jol­la­kin muut­tu­jan ar­vol­la mo­lem­mat puo­let ovat tot­ta ja jol­la­kin toi­sel­la kum­pi­kaan puo­li ei ole tot­ta.)
tai

Jos yh­tä­suu­ril­le teh­dään sa­ma asia, ovat lop­pu­tu­lok­set­kin yh­tä­suu­ret. Toi­saal­ta lop­pu­tu­lok­set voi­vat ol­la yh­tä­suu­ret vaik­ka al­ku­pe­räi­set ei­vät ole. Esi­mer­kik­si `0x = 0y` vaik­ka oli­si `x != y`. Kui­ten­kin, jos teh­ty asia on pe­ruu­tet­ta­vis­sa, niin lop­pu­tu­lok­set ovat yh­tä­suu­ret jos ja vain jos al­ku­pe­räi­set ovat yh­tä­suu­ret. Esi­mer­kik­si `x = y``hArr``x+1 = y+1`, kos­ka li­sää­mäl­lä jäl­kim­mäi­sen mo­lem­piin puo­liin −1 pääs­tään ta­kai­sin yh­tä­löön `x=y`.

Siis jos mo­lem­mil­le puo­lil­le teh­dään sa­ma, pe­ruu­tet­ta­vis­sa ole­va asia, on lop­pu­tu­los loo­gi­ses­ti yh­tä­pi­tä­vä al­ku­pe­räi­sen kans­sa. Täl­lai­sia asioi­ta ovat mm.

Mit­kä seu­raa­vis­ta loo­gi­sis­ta yh­tä­pi­tä­vyyk­sis­tä ovat pä­te­viä?
`x = y hArr x-12 = y-12`
`x = y hArr x^2 = y^2`
`x = y hArr x/3 = y/3`
`x = y hArr |x| = |y|`
`x = y hArr 2^x = 2^y`
`x = y hArr sqrt x = sqrt y`
tai

En­sim­mäi­sen as­teen yh­tä­lön rat­kai­se­mi­ses­sa pää­see pit­käl­le siir­tä­mäl­lä muut­tu­jia si­säl­tä­vät ter­mit va­sem­mal­le puo­lel­le ja muut ter­mit oi­keal­le puo­lel­le, ja yh­dis­tä­mäl­lä sa­man­muo­toi­set ter­mit. Jos muut­tu­jan ker­toi­mek­si tu­lee muu kuin nol­la, rat­kai­su saa­daan val­miik­si ja­ka­mal­la mo­lem­mat puo­let sil­lä. Muus­sa ta­pauk­ses­sa saa­daan jo­ko `0=0`, jol­loin kaik­ki lu­vut ovat juu­ria; tai esim. `0=3`, jol­loin mi­kään lu­ku ei ole juu­ri. Jäl­kim­mäi­ses­sä ta­pauk­ses­sa Math­Checkis­sä juur­ten pai­kal­le mer­ki­tään FF. (Edel­li­ses­sä ta­pauk­ses­sa oli­si joh­don­mu­kais­ta mer­ki­tä TT, mut­ta Math­Check ei osaa si­tä vie­lä.)

Kor­jaa an­net­tu yh­tä­lön rat­kai­su. Si­nun ei tar­vit­se saa­da kaik­kea kun­toon ker­ral­la, vaan voit aluk­si kli­ka­ta nap­pia en­nen kuin olet kor­jan­nut mi­tään ja sen jäl­keen ede­tä vaik­ka ri­veit­täin. /**/ saa Math­Checkin aloit­ta­maan uu­den ri­vin. (Se ei toi­mi kes­kel­lä lau­se­ket­ta, joh­tuen tek­nii­kas­ta jol­la lau­sek­keet la­do­taan ma­te­maat­ti­sen nä­köi­sik­si.) Saat pois­taa ne, jos ha­luat.

`4x + 3 = 2x + 1 hArr`

tai

Rat­kai­se seu­raa­vat yh­tä­löt. Saat ede­tä niin pit­kin as­ke­lin kuin osaat. Voit kir­joit­taa vaik­ka lo­pul­li­sen vas­tauk­sen he­ti, jos et tar­vit­se vä­li­vai­hei­ta. Jos me­ni­kin vää­rin, voit li­sä­tä vä­li­vai­hei­ta sen mu­kaan kuin koet hyö­dyl­li­sek­si.

`3x + 8 = 2x + 13 hArr`

tai

`2(x-5) = 5x-3 hArr`

tai

`6x + 8 = 2(5+3x) hArr`

tai

`3(4z+1) = 7-z hArr`

tai

Edel­lä ole­vil­la neu­voil­la saa­daan `1 = x``hArr``-x = -1``hArr`` x = 1`. Mut­ta yh­tä­lön puol­ten vaih­to on sal­lit­tu, eli esim. `z+5 = 4z-1``hArr``4z-1 = z+5`. Sil­lä pääs­tään toi­si­naan hel­pom­mal­la.

Rat­kai­se `11 = w hArr`

tai

Kos­ka puol­ten vaih­to on sal­lit­tu, on toi­si­naan mu­ka­vaa koo­ta muut­tu­jan si­säl­tä­vät ter­mit oi­keal­le, jot­ta väl­tet­täi­siin ne­ga­tii­vi­nen ker­roin muut­tu­jan edes­sä.

Rat­kai­se `3d + 7 = 5d + 19 hArr`

tai

Yh­tä­löl­lä voi ol­la mon­ta juur­ta. Math­Checkis­sä se mer­ki­tään tyy­liin y = 3 \/ y = -2 \/ y = 5 (jär­jes­tyk­sel­lä ei ole vä­liä). Sym­bo­li \/ tar­koit­taa loo­gis­ta ”tai”-ope­raat­to­ria, jo­ka il­mai­see, et­tä ai­na­kin yk­si lue­tel­luis­ta vaih­to­eh­dois­ta on tot­ta.

Ker­to­las­kun tu­los on nol­la jos ja vain jos jo­kin ker­rot­ta­va on nol­la. Rat­kai­se `(a-5)(1-2a)(3a+6) = 0 hArr`

tai

Rat­kai­se `1-5c = (c+1)^2 hArr`

tai

Yh­tä­lön `v-5 = sqrt(v^2-5)` rat­kai­se­mi­nen te­ki­si mie­li aloit­taa ne­liöi­mäl­lä mo­lem­mat puo­let, jot­ta pääs­täi­siin ne­liö­juu­res­ta eroon. Ne­liö ei kui­ten­kaan ole ai­dos­ti kas­va­va ei­kä ai­dos­ti vä­he­ne­vä, jo­ten ne­liöin­ti ei sel­lai­se­naan ole oi­kein. On kui­ten­kin tot­ta, et­tä al­ku­pe­räi­set ovat yh­tä­suu­ret jos ja vain jos ne­liöt ovat yh­tä­suu­ret ja al­ku­pe­räi­set ovat sa­man­merk­ki­set.

Esi­mer­kis­säm­me `sqrt(v^2-5)` on mää­rit­te­le­mä­tön jos `v^2-5 < 0` ja ei-ne­ga­tii­vi­nen päinvas­tai­ses­sa ta­pauk­ses­sa. Mää­rit­te­le­mä­tön ei ole min­kään kans­sa sa­man­merk­ki­nen (ei­kä min­kään kans­sa yh­tä­suu­ri, edes it­sen­sä kans­sa), jo­ten esi­mer­kis­säm­me al­ku­pe­räi­set ovat sa­man­merk­ki­set jos ja vain jos `v^2-5 >= 0` ja `v-5 >= 0` eli `v^2-5 >= 0 ^^ v-5 >= 0`. Jos `v < 5` niin tä­mä ei to­teu­du kos­ka `v-5 >= 0` ei to­teu­du, ja jos `v >= 5` niin mo­lem­mat eh­dot to­teu­tu­vat kos­ka sil­loin `v^2 >= 25`. Saam­me siis ne­liöi­dä mo­lem­mat puo­let, jos sa­mal­la li­sääm­me eh­don `v >= 5` loo­gi­sel­la ope­raat­to­ril­la /\ eli ”ja”. Niin­pä
`v-5 = sqrt(v^2-5)`
`hArr v >= 5 ^^ (v-5)^2 = (sqrt(v^2-5))^2`
`hArr v >= 5 ^^ v^2 - 10v + 25 = v^2-5`
`hArr v >= 5 ^^ -10v = -30`
`hArr v >= 5 ^^ v = 3`
`hArr sf(F)`

Il­man eh­toa `v >= 5` oli­sim­me saa­neet `v=3`. Si­joi­tet­tu­na al­ku­pe­räi­seen yh­tä­löön se tuot­taa `-2 = 2`, jo­ten se ei ole juu­ri, vaik­ka ne­liöin­nin jäl­keen se tuot­taa­kin `4 = 4`, mi­kä on tot­ta.

Jos tar­vit­set se­kä /\ et­tä \/, niin käy­tä tar­vit­taes­sa sul­ku­ja. Il­man sul­ku­ja /\ si­too voi­mak­kaam­min. Kor­jaa vir­he al­la ole­vas­sa pyyh­ki­mät­tä mi­tään pois.
`x >= 0 ^^ (x-3)(x+7) = 0 hArr`

tai

Pi­tää ol­la `c <=` jot­ta `sqrt(1-5c)` oli­si mää­ri­tel­ty, ja `c >=` jot­ta `c+1` oli­si ei-ne­ga­tii­vi­nen.
tai

Rat­kai­se `sqrt(1-5c) = c+1 hArr`

tai

It­seis­ar­vo­ja si­säl­tä­vä yh­tä­lö kan­nat­taa usein ja­kaa ta­pauk­siin si­ten, et­tä saa­daan it­seis­ar­vo­mer­kit pois­tet­tua. Ta­pauk­set ero­te­taan toi­sis­taan ”tai”-ope­raat­to­ril­la \/. Al­la on rat­kais­tu yh­tä­lö vir­heel­li­ses­ti. Kor­jaa!
`2|h+2| = 1-h hArr`

tai

Rat­kai­se `|u+1|+1 = u/2 + 3 hArr`

tai

Rat­kai­se `2b-8 = 1-|b| hArr`

tai

Rat­kai­se `|t| + 1 = t hArr`

tai

Täs­sä oli riit­tä­väs­ti yh­tä­löi­den rat­kai­se­mis­ta yh­dek­si ker­taa. Ken­ties jos­kus tois­te rat­kai­sem­me li­sää!