Teh­tä­vä:
Vii­mei­nen nu­me­ro

Ly­hyt Math­Check-oh­je (uu­teen vä­li­leh­teen)

Täs­sä teh­tä­väs­sä val­mis­tau­du­taan mo­du­laa­ri­sen arit­me­tii­kan opis­ke­luun tut­ki­mal­la, mi­ten lu­vun vii­mei­nen nu­me­ro käyt­täy­tyy las­ku­toi­mi­tuk­sis­sa. Sa­mal­la aloi­te­taan tu­tus­tu­mi­nen il­miöi­hin, jois­sa on al­ku­osa ja tois­tu­va jak­so.

Las­ke seu­raa­vat yh­teen­las­kut vaik­ka las­ki­mel­la.

ok_text Eka oi­kein! hide_expr only_no_yes_on f_nodes 1 7+6 =     7+6 = tai

ok_text To­ka oi­kein! hide_expr only_no_yes_on f_nodes 1 27+16 =   27+16 = tai

ok_text Kol­mas oi­kein! hide_expr only_no_yes_on f_nodes 1 1367+76 = 1367+76 = tai

Huo­maat­han, et­tä jo­kai­sen tu­lok­sen vii­mei­nen nu­me­ro on 3?

Las­ke seu­raa­vat ker­to­las­kut vaik­ka las­ki­mel­la.

ok_text Oi­kein! hide_expr only_no_yes_on f_nodes 1 3*6 =     3 · 6 = tai

ok_text Oi­kein! hide_expr only_no_yes_on f_nodes 1 23*16 =   23 · 16 = tai

ok_text Oi­kein! hide_expr only_no_yes_on f_nodes 1 1363*76 = 1363 · 76 = tai

Huo­maat­han, et­tä jo­kai­sen tu­lok­sen vii­mei­nen nu­me­ro on 8?

Kah­den ko­ko­nais­lu­vun yh­teen-, vä­hen­nys ja ker­to­las­kun tu­lok­sen vii­mei­nen nu­me­ro riip­puu vain kum­man­kin lu­vun vii­mei­ses­tä nu­me­ros­ta. Yh­teen-, vä­hen­nys- ja ker­to­las­kun tu­lok­sen kak­si vii­meis­tä nu­me­roa riip­pu­vat vain las­ket­ta­vien kah­des­ta vii­mei­ses­tä nu­me­ros­ta, kol­me vain kol­mes­ta ja niin edel­leen. Mi­kä ta­han­sa mää­rä yh­teen-, vä­hen­nys ja ker­to­las­kun tu­lok­sen vii­mei­siä nu­me­roi­ta riip­puu vain sa­mas­ta mää­räs­tä al­ku­pe­räis­ten lu­ku­jen vii­mei­siä nu­me­roi­ta.

Mit­kä ovat lu­vun 3141592653 · 2718281828 + 1414213562 kak­si vii­meis­tä nu­me­roa? ok_text Hy­vin su­juu! only_no_yes_on f_nodes 1 hide_expr 46=
tai

Vii­mei­nen nu­me­ro voi saa­da vain 10 eri­lais­ta ar­voa 0, 1, …, 9. Kak­si vii­meis­tä nu­me­roa voi­vat yh­teen­sä saa­da vain 100 eri­lais­ta ar­voa 00, 01, …, 09, 10, 11, …, 99. (Jos lu­vus­sa on vain yk­si nu­me­ro, sii­hen aja­tel­laan li­sät­tä­väk­si etu­nol­la. Esi­mer­kik­si lu­vun 7 kak­si vii­meis­tä nu­me­roa ovat 07.) Kol­me vii­meis­tä nu­me­roa voi­vat yh­teen­sä saa­da vain 1000 eri­lais­ta ar­voa, ja niin edel­leen.

ok_text Hie­noa! only_no_yes_on hide_expr f_nodes 1 1000000= Kuin­ka mon­ta eri­lais­ta ar­voa kuu­si vii­meis­tä nu­me­roa voi­vat yh­teen­sä saa­da?
tai

ok_text Osa­sit muo­dos­taa lau­sek­keen! only_no_yes_on hide_expr f_nodes 3 10^k= Kuin­ka mon­ta eri­lais­ta ar­voa `k` vii­meis­tä nu­me­roa voi­vat yh­teen­sä saa­da, il­mais­tu­na `k`:n funk­tio­na?
tai

Jos ote­taan mi­kä ta­han­sa ko­ko­nais­lu­ku läh­tö­koh­dak­si ja ale­taan tois­taa mi­tä ta­han­sa las­ku­toi­mi­tus­ta, jo­ka on muo­dos­tet­tu vain yh­teen-, vä­hen­nys- ja ker­to­las­kuis­ta, niin vii­meis­tään 100 tois­ton jäl­keen kak­si vii­meis­tä nu­me­roa ovat sa­mat kuin jos­kus ai­kai­sem­min. Tä­mä joh­tuu sii­tä, et­tä muu­toin ar­vot lop­pu­vat kes­ken. Sen jäl­keen kak­si vii­meis­tä nu­me­roa al­kaa tois­taa sa­maa jak­soa. Siis en­sin on al­ku­osa, jon­ka pi­tuus on vä­hin­tään 0, ja sit­ten on jak­so, jon­ka pi­tuus on vä­hin­tään 1. Jos va­li­taan mah­dol­li­sim­man ly­hyet al­ku­osa ja jak­so, niin nii­den yh­teis­pi­tuus on enin­tään 100.

Esi­mer­kik­si jos las­ku­toi­mi­tus on `5n+82`, niin aloit­ta­mal­la `n=0` saa­daan 0, 82, 492, 2542, 12792, 64042, … eli kak­si vii­meis­tä nu­me­roa ke­hit­ty­vät 00, 82, 92, 42, 92, 42, …. Jos täs­sä esi­mer­kis­sä va­li­taan mah­dol­li­sim­man ly­hyet al­ku­osa ja jak­so, niin al­ku­osan pi­tuus on 2 (kos­ka al­ku­osa on 00, 82) ja jak­son pi­tuus on ok_text Oli­ko­han tä­mä ar­vat­ta­vis­sa vas­taus­ruu­tu­jen mää­räs­tä? only_no_yes_on hide_expr f_nodes 1 2= (kos­ka jak­so on arithmetic hide_expr f_nodes 1 92=, arithmetic hide_expr f_nodes 1 42=).
tai

Var­mis­te­taan­pa, et­tä ym­mär­sit, mi­ten lu­ku­jo­no 0, 82, 492, 2542, 12792, 64042, … saa­tiin. Jos ym­mär­sit, niin seu­raa­vis­ta osa­teh­tä­vis­tä sel­viät ko­pioi­mal­la yl­tä ja pu­dot­ta­mal­la vas­taus­laa­tik­koon.

ok_text Kyl­lä! only_no_yes_on hide_expr f_nodes 1 2542= Pal­jon­ko on 5 · 492 + 82 (kaik­ki nu­me­rot)?
tai

ok_text Näin on! only_no_yes_on hide_expr f_nodes 1 12792= Pal­jon­ko on 5 · 2542 + 82 (kaik­ki nu­me­rot)?
tai

Edel­lä pu­hut­tiin mah­dol­li­sim­man ly­hyis­tä al­ku­osas­ta ja jak­sos­ta. Myös 00, 82, 92, 42, 92 on esi­mer­kin al­ku­osa ja 42, 92, 42, 92 on jak­so. Usein on yh­den­te­ke­vää mi­tä al­ku­osaa ja jak­soa käy­te­tään, kun­han ne on va­lit­tu si­ten, et­tä jak­so al­kaa oi­keas­ta koh­das­ta suh­tees­sa al­ku­osaan. Jos esi­mer­kik­si al­ku­osa on 00, 82, 92, niin jak­so 42, 92, 42, 92 al­kaa oi­keas­ta koh­das­ta, mut­ta 92, 42, 92, 42 ei ala. Jak­son va­lin­nal­la on mer­ki­tys­tä esi­mer­kik­si sil­loin kun lu­va­taan, et­tä ly­hyin jak­so on kor­kein­taan jon­kin pi­tui­nen.

An­na mah­dol­li­sim­man ly­hyt al­ku­osa, jol­le jak­so 92, 42, 92, 42 al­kaa oi­keas­ta koh­das­ta. Jä­tä tar­peet­to­mat vas­taus­ruu­dut tyh­jik­si.
ok_text Joo! only_no_yes_on hide_expr f_nodes 1 00= arithmetic hide_expr f_nodes 1 82= end_of_answer tai

Tä­mä ku­va näyt­tää jo­kai­sel­le nu­me­rol­le, mi­hin nu­me­roon sii­tä pää­dy­tään las­ke­mal­la `2n+3` ja ot­ta­mal­la tu­lok­sen vii­mei­nen nu­me­ro. Huo­maam­me, et­tä jos aloi­te­taan nu­me­ros­ta 2 tai 7, niin lo­pul­ta pää­dy­tään tois­ta­maan jak­soa 7, ja jos aloi­te­taan mis­tä ta­han­sa muus­ta nu­me­ros­ta, niin lo­pul­ta pää­dy­tään tois­ta­maan jak­soa 3, 9, 1, 5. Täs­sä ku­vas­sa ly­hyim­pien al­ku­osan ja jak­son yh­teis­pi­tuus on enin­tään 5. Ly­hyim­pien jak­so­jen pi­tuu­det ovat 1 ja 4, ja ly­hyim­pien al­ku­osien pi­tuu­det ovat 0 ja 1.

Täy­den­nä vas­taa­va ku­va, kun ope­raa­tio­na en­nen vii­mei­sen nu­me­ron ot­ta­mis­ta on nel­jäl­lä ker­to­mi­nen (eli lu­vus­ta `n` siir­ry­tään lu­kuun `4n`).

only_no_yes_on ok_text Tä­mä koh­ta oi­kein! f_nodes 1 hide_expr 5 =		arithmetic f_nodes 1 hide_expr 1= 1		arithmetic f_nodes 1 hide_expr 9=		arithmetic f_nodes 1 hide_expr 3=		arithmetic f_nodes 1 hide_expr 7=
↓		↓		↓		↓		↓
arithmetic f_nodes 1 hide_expr 0=		arithmetic f_nodes 1 hide_expr 4=	⇄	arithmetic f_nodes 1 hide_expr 6=		arithmetic f_nodes 1 hide_expr 2= 2	⇄	arithmetic f_nodes 1 hide_expr 8=
↻

tai

Jos läh­tö­koh­dak­si ote­taan 1 ja las­ku­toi­mi­tuk­se­na on lu­vul­la `n` ker­to­mi­nen, niin jo­non lu­vut ovat `1`, `n`, `n^2`, `n^3`, …. Kos­ka vii­mei­nen nu­me­ro voi saa­da vain 10 eri ar­voa, vii­meis­tään lu­vun `n^10` vii­mei­nen nu­me­ro on sa­ma kuin lu­vun `n^k` vii­mei­nen nu­me­ro jol­lain pie­nem­mäl­lä `k`. Toi­sin sa­noen ly­hyim­pien al­ku­osan ja jak­son yh­teis­pi­tuus on enin­tään 10. Po­tens­si­las­kun ta­pauk­ses­sa se on ai­na vä­hem­män. Äs­ken tut­kit kaik­ki ta­pauk­set jo­nol­le 4⁰, 4¹, 4², …. Mi­kä oli sii­nä suu­rin ly­hyim­pien al­ku­osan ja jak­son yh­teis­pi­tuus? ok_text Jep! only_no_yes_on hide_expr f_nodes 1 3=
tai

Al­ku­osa ja jak­so kan­nat­taa opis­kel­la hy­vin, kos­ka ne esiin­ty­vät mo­nes­sa pai­kas­sa tie­to­jen­kä­sit­te­ly­tie­tees­sä ja ma­te­ma­tii­kas­sa. Esi­mer­kik­si jos ko­ko­nais­lu­ku jae­taan nol­las­ta poik­kea­val­la ko­ko­nais­lu­vul­la ja tu­los esi­te­tään de­si­maa­li­lu­ku­na, niin sii­nä on al­ku­osa ja jak­so. Esi­merk­si `3/28``=``0.10color(red)(714285)714285...` ja `7/10``=``0.7color(red)(0)0...`

Jak­so­ja hyö­dyn­tä­mäl­lä voi vä­häl­lä vai­val­la las­kea mo­nen sel­lai­sen­kin las­kun lop­pu­tu­lok­sen vii­mei­sen nu­me­ron, jot­ka ta­val­li­seen ta­paan las­ket­tu­na oli­si­vat ko­vin työ­läi­tä. Täs­sä­kään tär­keää ei ole op­pia juu­ri tä­mä las­ku­toi­mi­tus, vaan op­pia al­ku­osan ja jak­son käyt­töä ylei­ses­ti.

Ideaan kiin­ni pää­se­mi­sek­si las­kem­me en­sin seu­raa­van: jos nyt kel­lo on ta­san 15, niin pal­jon­ko kel­lo on mil­joo­nan eli 1000000 tun­nin ku­lut­tua? Täy­si vuo­ro­kau­si on 24 tun­tia. Mil­joo­naan me­nee jo­kin mää­rä `q` täy­siä vuo­ro­kau­sia ja li­säk­si jo­kin mää­rä `r` tun­te­ja, mis­sä `r` te­kee vä­hem­män kuin vuo­ro­kau­den:

`1000000 = 24 q + r`, mis­sä `0 <= r < 24`

Jos las­ki­mes­sa­si on mo­du­lo-ope­raa­tio, lu­vun `r` saa sil­lä las­ke­mal­la `r``=``1000000 mod 24`. Muus­sa ta­pauk­ses­sa sen saa seu­raa­vas­ti:

• Las­ke ja­ko­las­ku 1000000 / 24. Tu­lok­sek­si tu­lee 41666.666666667, mis­sä de­si­maa­lien mää­rä ja vii­mei­nen de­si­maa­li voi­vat riip­pua las­ki­mes­ta.
• Hä­vi­tä jol­lain lail­la lu­vun ko­ko­nais­osa. Las­ki­mes­sa, jol­la ko­kei­lin, sen voi maa­la­ta ja pyyh­kiä pois. Sen voi hä­vit­tää vä­hen­tä­mäl­lä ko­ko­nais­osan, siis jat­ka­mal­la las­kua −41666. Tai voi aloit­taa ko­ko­naan uu­den las­kun na­put­te­le­mal­la de­si­maa­li­osan al­kua tar­peek­si pit­käl­le. Riit­tää na­pu­tel­la yk­si de­si­maa­li enem­män kuin ja­ka­jas­sa on. Nyt ja­ka­ja on 24. Sii­nä on kak­si de­si­maa­lia, jo­ten riit­tää na­pu­tel­la 0.666.
• Ker­ro tu­los ja­ka­jal­la ja pyö­ris­tä lä­him­pään ko­ko­nais­lu­kuun. Esi­mer­kis­säm­me 0.666 · 24 = 15.984, jo­ta lä­hin ko­ko­nais­lu­ku on 16.
• Voit har­joi­tel­la tä­tä muu­ta­mal­la esi­mer­kil­lä:
  only_no_yes_on ok_text Oi­kein! f_nodes 1 hide_expr 3 = `147 mod 24` = tai
  only_no_yes_on ok_text Oi­kein! f_nodes 1 hide_expr 27 = `709 mod 31` = tai
  only_no_yes_on ok_text Oi­kein! f_nodes 1 hide_expr 100 = `2019 mod 101` = tai

Mil­joo­na tun­tia eteen­päin on siis jo­kin mää­rä täy­siä vuo­ro­kau­sia se­kä 16 tun­tia eteen­päin. Täy­siä vuo­ro­kau­sia ei tar­vit­se ot­taa huo­mioon, jo­ten riit­tää li­sä­tä tut­kit­ta­vaan kel­lo­nai­kaan 16, jo­ten las­kem­me 15+16 = 31. Se ylit­tää 24 eli vie seu­raa­van vuo­ro­kau­den puo­lel­le, jo­ten vä­hen­näm­me 24 saa­den 31−24 = 7. Kel­lo 15:stä mil­joo­nan tun­nin pääs­tä kel­lo on siis ta­san 7.

Tä­män oli­si voi­nut las­kea näin­kin: `(15+1000000) mod 24``=``7`. Las­kim­me hie­man mo­ni­mut­kai­sem­min sik­si, et­tä se ta­pa toi­mii sil­loin­kin, kun yk­sin­ker­tai­nen ta­pa joh­tai­si niin isoi­hin lu­kui­hin, et­tä las­kin ei niis­tä sel­viä. Täs­tä esi­mer­kik­si las­kem­me lu­vun 2017²⁰¹⁷ vii­mei­sen nu­me­ron.

Edel­lä to­te­sim­me, et­tä jos las­kem­me 2017⁰, 2017¹, 2017², … niin vii­mei­nen nu­me­ro al­kaa mel­ko pian tois­tua. Teem­me tau­luk­koa vii­mei­sen nu­me­ron sel­vit­tä­mi­sek­si, kun­nes vii­mei­nen nu­me­ro tois­tuu. Kun­kin ri­vin oi­keas­sa reu­nas­sa on va­sem­mas­sa reu­nas­sa mai­ni­tun lu­vun vii­mei­nen nu­me­ro. Se saa­daan edel­li­sen ri­vin vii­mei­ses­tä nu­me­ros­ta ker­to­mal­la se kan­ta­lu­vun eli 2017 vii­mei­sel­lä nu­me­rol­la eli 7, ja ot­ta­mal­la tu­lok­ses­ta vii­mei­nen nu­me­ro. Ker­to­las­kun tu­los näy­te­tään ri­vin kes­kel­lä.

lu­ku	edel­li­nen ker­taa 7	vii­mei­nen nu­me­ro
20170		1
20171	7	7
20172	49	9
20173	63	3
20174	21	1

Ly­hyim­män jak­son pi­tuus on siis 4. Kos­ka 2017⁴ tuot­taa sa­man vii­mei­sen nu­me­ron kuin 2017⁰, niin 2017⁵ tuot­taa sa­man vii­mei­sen nu­me­ron kuin 2017¹, 2017⁶ tuot­taa sa­man vii­mei­sen nu­me­ron kuin 2017² ja niin edel­leen. Siksi 2017⁸, 2017¹², ja niin edel­leen tuot­ta­vat sa­man vii­mei­sen nu­me­ron kuin 2017⁴. Eks­po­nen­tis­ta 2017 tu­lee jo­kin mää­rä jak­so­ja ja nii­den li­säk­si `2017 mod 4``=``1` ker­to­las­kua. Lu­vun 2017²⁰¹⁷ vii­mei­nen nu­me­ro on siis sa­ma kuin lu­vun 2017¹ vii­mei­nen nu­me­ro.

Vie­dään tä­mä las­ku lop­puun ja har­joi­tel­laan kak­si muu­ta esi­merk­kiä! An­na seu­raa­vien lu­ku­jen vii­mei­nen nu­me­ro.

ok_text Juu­ri niin! hide_expr only_no_yes_on f_nodes 1 7 = 2017²⁰¹⁷ tai

ok_text Juu­ri niin! hide_expr only_no_yes_on f_nodes 1 9 = 2019²⁰¹⁹ tai

ok_text Juu­ri niin! hide_expr only_no_yes_on f_nodes 1 3 = 2013²⁰¹³ tai

Näis­sä ta­pauk­sis­sa en­sim­mäi­sen ri­vin vii­mei­nen nu­me­ro al­koi tois­tua. Näin ei käy ai­na. Jos näin ei käy, niin täy­tyy huo­leh­tia, et­tä lop­pu­tu­lok­sen vii­mei­nen nu­me­ro kat­so­taan sel­lai­sel­la eks­po­nen­til­la, jos­sa tois­to on var­mas­ti al­ka­nut. Esi­mer­kik­si lu­ku­jen 2012⁰, 2012¹, … vii­mei­nen nu­me­ro on 1, 2, 4, 8, 6, 2, …. Ly­hyim­män jak­son pi­tuus on siis 4. Huo­maam­me, et­tä `2012 mod 4``=``0`. Kui­ten­kaan lu­vun 2012²⁰¹² vii­mei­nen nu­me­ro ei ole lu­vun 2012⁰ vii­mei­nen nu­me­ro eli 1, kos­ka tois­to ei ole vie­lä al­ka­nut eks­po­nen­tin 0 koh­dal­la. Eks­po­nent­tia pi­tää kas­vat­taa ne­lo­sel­la niin mon­ta ker­taa, et­tä tois­to al­kaa. Yk­si ker­ta riit­tää, jo­ten lu­vun 2012²⁰¹² vii­mei­nen nu­me­ro on sa­ma kuin lu­vun 2012⁴ vii­mei­nen nu­me­ro eli 6.

An­na seu­raa­vien lu­ku­jen vii­mei­nen nu­me­ro.

ok_text Kyl­lä! hide_expr only_no_yes_on f_nodes 1 6 = 2014²⁰¹⁴ tai

ok_text Kyl­lä! hide_expr only_no_yes_on f_nodes 1 4 = 2018²⁰¹⁸ tai

Olem­me las­ke­neet jo yli puo­let 2010-lu­vun teh­tä­vis­tä. Ei kai me jä­te­tä hom­maa kes­ken, ei­kö­hän las­ke­ta lo­put­kin? Nyt ke­rää ener­giaa yli-in­hi­mil­li­seen pon­nis­tuk­seen! Las­ke seu­raa­vien lu­ku­jen vii­mei­set nu­me­rot:

ok_text Jos jou­duit te­ke­mään pal­jon työ­tä tä­män kans­sa, niin pi­dä pik­ku tau­ko en­nen kuin jat­kat. hide_expr only_no_yes_on f_nodes 4 0 = 2010²⁰¹⁰ tai

ok_text Tä­män nyt ai­na­kin oli tar­koi­tus ol­la help­po. hide_expr only_no_yes_on f_nodes 4 1 = 2011²⁰¹¹ tai

ok_text Vain yk­si jäl­jel­lä! hide_expr only_no_yes_on f_nodes 4 5 = 2015²⁰¹⁵ tai

ok_text Val­mis­ta tu­li! hide_expr only_no_yes_on f_nodes 4 6 = 2016²⁰¹⁶ tai

ok_text Sil­lä lail­la! hide_expr only_no_yes_on f_nodes 1 1 = Po­tens­si­las­kun lop­pu­tu­lok­sen vii­mei­nen nu­me­ro riip­puu vain kan­ta­lu­vun vii­mei­ses­tä nu­me­ros­ta, kos­ka po­tens­si­las­ku on kan­ta­lu­vun ker­to­mis­ta it­sel­lään. Eks­po­nent­tiin sa­ma ei pä­de. Edel­lä näim­me, et­tä lu­vun 2017² vii­mei­nen nu­me­ro on 9. Edel­lä opi­tul­la kei­nol­la on help­po las­kea lu­vun 2017¹² vii­mei­nen nu­me­ro, jol­loin huo­maam­me, et­tä se ei ole 9. Mi­kä se on?
tai

Ja­ko­las­kun lop­pu­tu­lok­sen vii­mei­nen nu­me­ro voi riip­pua muus­ta­kin kuin ja­ka­jan ja jaet­ta­van vii­mei­ses­tä nu­me­ros­ta. Ai­van koh­ta teh­tä­vä­si on an­taa täs­tä kak­si esi­merk­kiä. Si­tä en­nen kui­ten­kin var­mis­tam­me, et­tä tie­dät, mi­tä tar­koit­taa, et­tä ko­ko­nais­lu­ku­jen ja­ko­las­ku me­nee ta­san. Se tar­koit­taa, et­tä lop­pu­tu­los­kin on ko­ko­nais­lu­ku.

An­na `n` vä­lil­tä 71, …, 80 si­ten, et­tä `n/7` me­nee ta­san.
ok_text On­nis­tuit! only_no_yes_on hide_expr f_nodes 1 77= tai

An­na `n` vä­lil­tä 71, …, 80 si­ten, et­tä `n/9` me­nee ta­san.
ok_text Osa­sit jäl­leen! only_no_yes_on hide_expr f_nodes 1 72= tai

ok_text Lois­ta­vaa! modulo 20 f_range TT <=> hide_expr i = An­na ko­ko­nais­lu­vut `i=` /\ j = , `j =` ja `m =` /\ m = --> (m = 2 \/ m = 5 \/ m = 10) /\ (i = j + 10) /\ (i=0 \/ i=m \/ i=2m \/ i=3m \/ i=4m \/ i=5m \/ i=6m \/ i=7m \/ i=8m \/ i=9m) si­ten, et­tä ne ovat vä­lil­tä 0, …, 19, `i`:n vii­mei­nen nu­me­ro on sa­ma kuin `j`:n ja ja­ko­las­kut `i/m` ja `j/m` me­ne­vät ta­san, mut­ta ja­ko­las­ku­jen lop­pu­tu­los­ten vii­mei­nen nu­me­ro ei ole sa­ma.
tai

ok_text Tä­män­kin kek­sit, vaik­ka oli mel­ko vai­kea! modulo 20 f_range TT <=> hide_expr n = An­na ko­ko­nais­lu­vut `n=` /\ i = , `i =` ja `j =` /\ j = --> n = 12 /\ i = 2 /\ j = 12 \/ n = 12 /\ i = 12 /\ j = 2 \/ n = 15 /\ i = 5 /\ j=15 \/ n = 15 /\ i = 15 /\ j=5 si­ten, et­tä ne ovat vä­lil­tä 0, …, 19, `i`:n vii­mei­nen nu­me­ro on sa­ma kuin `j`:n ja ja­ko­las­kut `n/i` ja `n/j` me­ne­vät ta­san, mut­ta ja­ko­las­ku­jen lop­pu­tu­los­ten vii­mei­nen nu­me­ro ei ole sa­ma.
tai

Lo­puk­si ker­taam­me. Jos ri­vin alus­sa mai­ni­tun las­ku­toi­mi­tuk­sen tu­lok­sen vii­mei­nen nu­me­ro ei rii­pu `n`:stä muu­ten kuin vii­mei­ses­tä nu­me­ros­ta, niin va­lit­se ruu­tu sa­rak­kees­ta ”pä­tee `n`:lle”. Täy­tä sa­ra­ke ”pä­tee `m`:lle” sa­mal­la pe­riaat­teel­la. ok_text Hy­vä, hy­vä! only_no_yes_on hide_expr 8 = hide_expr 0

	pä­tee `n`:lle	pä­tee `m`:lle
`n+m`
`n-m`
`n m`
`n/m`
`n^3`
`n^m`

tai

Käy­tim­me täs­sä teh­tä­väs­sä vii­meis­tä nu­me­roa sik­si, et­tä se on ha­vain­nol­li­nen. Saa­mam­me tau­luk­ko pä­tee kui­ten­kin mo­du­lo­arit­me­tii­kas­sa ylei­ses­ti. Esi­mer­kik­si lu­ku `(nm) mod M` riip­puu vain lu­vuis­ta `n mod M` ja `m mod M`. Vii­mei­sen nu­me­ron ta­paus saa­daan täs­tä va­lit­se­mal­la `M=10`.