Teh­tä­vä:
Väit­tei­den to­tuus­ar­vot

Täs­sä teh­tä­väs­sä käy­dään lä­pi väit­tei­den to­tuus­ar­voi­hin liit­ty­viä kä­sit­tei­tä. Vaik­ka tun­ti­sit asian hy­vin en­tuu­des­taan, mää­rit­te­le­mät­tö­mien väit­tei­den osal­ta saat­taa tul­la si­nul­le uut­ta tie­toa.

Tä­män teh­tä­vän esi­mer­keis­sä käy­tet­tä­vät lu­vut ovat reaa­li­lu­ku­ja. Se tar­koit­taa muun muas­sa, et­tä
1
3
on yk­si kol­mas­osa, ja 2 on mu­ka­na mut­ta −1 ei ole.

Jos väit­teel­lä ei ole syö­tet­tä, niin se voi ol­la to­si, epä­to­si tai mää­rit­te­le­mä­tön. Esi­mer­kik­si 1 + 1 = 2 on to­si, 1 + 1 = 3 on epä­to­si ja −1 > 0 on mää­rit­te­le­mä­tön, kos­ka ne­ga­tii­vi­sil­la lu­vuil­la ei ole ne­liö­juu­ria. To­tuus­ar­vois­ta käy­te­tään seu­raa­via ly­hen­tei­tä:

ly­hen­nesuo­mek­sieng­lan­nik­si
Tto­sitrue
Fepä­to­sifal­se
Umää­rit­te­le­mä­tönun­de­fi­ned

Ver­tai­lun tu­los on mää­rit­te­le­mä­tön, jos ja vain jos jom­pi­kum­pi tai mo­lem­mat puo­let ovat mää­rit­te­le­mät­tö­miä. Tä­mä pä­tee sii­nä­kin ta­pauk­ses­sa, et­tä mo­lem­mil­la puo­lil­la on sa­ma teks­ti. Siis esi­mer­kik­si −1−1 on mää­rit­te­le­mä­tön.

Va­lit­se oi­keat vaih­toeh­dot.
väi­teTFU
7 − 2 = 4
7 − 2 = 5
1
0
= 3
1
0
=
1
0
skrtw g%Ö#
tai

Jos väit­teel­lä on syö­te, niin sen to­tuus­ar­vo voi vaih­del­la syöt­teen mu­kaan. Esi­mer­kik­si x + 1 > 2 on epä­to­si jos x = 0, ja to­si jos x = 5. On seit­se­män vaih­toeh­toa:

  1. Väi­te on ai­na to­si. Esi­merk­ki: x + 1 > x.
  2. Väi­te on toi­si­naan to­si ja toi­si­naan epä­to­si, ei­kä kos­kaan mää­rit­te­le­mä­tön. Esi­merk­ki: x + 1 > 2.
  3. Väi­te on ai­na epä­to­si. Esi­merk­ki: x + 1 < x.
  4. Väi­te on ai­na mää­rit­te­le­mä­tön. Esi­merk­ki: x >
    1
    0
    .
  5. Väi­te on toi­si­naan to­si ja toi­si­naan mää­rit­te­le­mä­tön, ei­kä kos­kaan epä­to­si. Esi­merk­ki:
    x
    x
    = 1.
  6. Väi­te on toi­si­naan epä­to­si ja toi­si­naan mää­rit­te­le­mä­tön, ei­kä kos­kaan to­si. Esi­merk­ki:
    x
    x
     > 1.
  7. Väi­te on toi­si­naan to­si, toi­si­naan epä­to­si ja toi­si­naan mää­rit­te­le­mä­tön. Esi­merk­ki:
    1
    x
    = 1.

Va­lit­se oi­keat vaih­toeh­dot.
voi ol­la
väi­teTFU
x ≥ 0
x < 0
x = 1
x ≠ 1
tai

voi ol­la
väi­teTFU
x2 ≥ 0
x2 < 0
x2 ≤ 0
x2 > 0
tai

voi ol­la
väi­teTFU
x = −1
x−1
1
x
=
1
x
1
x
 ≠ 
1
x
tai

Mil­lä x:n ar­voil­la x − 1 > 2 on to­si, epä­to­si ja mää­rit­te­le­mä­tön?
TFU
x < 0
x = 0
0 < x < 1
x = 1
1 < x < 2
x = 2
2 < x < 5
x = 5
5 < x < 10
x = 10
10 < x
tai

On ta­val­lis­ta, et­tä syöt­teel­lis­tä väi­tet­tä sa­no­taan to­dek­si ker­to­mat­ta sa­mal­la, mil­lä syöt­teil­lä sen lu­va­taan ole­van to­si. Sil­loin tar­koi­te­taan, et­tä lai­te­taan syöt­teek­si ihan mi­tä ta­han­sa sii­nä asia­yh­tey­des­sä jär­ke­vää, niin väi­te on to­si. Esi­mer­kik­si x + 1 > x on to­si, mut­ta x + 1 > 3 ei ole to­si, kos­ka se ei ole to­si sil­loin kun x = 0.

Mää­rit­te­le­mä­tön­tä ei aja­tel­la asia­yh­tey­des­sä jär­ke­väk­si syöt­teek­si. Niin­pä x + 1 > x on tot­ta, vaik­ka si­joit­ta­mal­la x:n pai­kal­le −1 sii­tä saa­daan −1 + 1 > −1, jo­ka ei ole tot­ta vaan mää­rit­te­le­mä­tön.

Jol­lei ne­ga­tii­vi­sia lu­ku­ja ole sul­jet­tu ulos, niin x + 1 > x ei ole tot­ta, kos­ka sii­tä saa­daan −1 + 1 > −1 si­joit­ta­mal­la x:n pai­kal­le −1. Rat­kai­se­va ero edel­li­seen esi­merk­kiin on sii­nä, et­tä se mi­kä si­joi­te­taan x:n pai­kal­le oli edel­li­ses­sä ta­pauk­ses­sa mää­rit­te­le­mä­tön, mut­ta nyt se on mää­ri­tel­ty.

Jos asia­yh­tey­des­sä on lu­vat­tu, et­tä lu­vut ei­vät ole ne­ga­tii­vi­sia, niin x + 1 > x on tot­ta.

Toi­si­naan on tär­keää sa­noa sel­väs­ti, et­tä jo­kin tiet­ty ar­vo on ra­jat­tu ulos. Ole­te­taan, et­tä ha­lu­taan rat­kais­ta epäyh­tä­lö
(x+1)(x+3)
x+1
≥ 0. Su­pis­ta­mal­la (x+1):llä saa­daan x+3 ≥ 0 ja sii­tä x ≥ −3. Tä­mä on vää­rin, kos­ka sen mu­kaan myös x = −1 kuu­luu rat­kai­suun, vaik­ka to­del­li­suu­des­sa se saa al­ku­pe­räi­sen va­sem­man puo­len muo­toon
0
0
, jo­ka on mää­rit­te­le­mä­tön. Vir­heen kor­jaa­mi­sek­si riit­tää il­moit­taa, et­tä ar­vo x = −1 on sul­jet­tu pois. Lo­pul­li­nen rat­kai­su muun­tuu muo­toon x ≥ −3 ∧ x ≠ −1, jo­ka on oi­kein.

Syöt­tei­den jou­kon il­moit­ta­mi­nen ei ole vält­tä­mä­tön­tä sil­loin, kun kaik­ki ulos ra­ja­tut ar­vot ovat pää­tel­tä­vis­sä las­kel­man kai­kis­ta vai­heis­ta. Jos −1 on ai­noa kiel­let­ty x:n ar­vo, niin sie­ven­nös
x+1
(x+1)2
=
1
x+1
ei ko­vin her­käs­ti ai­heu­ta päät­te­ly­vir­het­tä, kos­ka sen mo­lem­mis­ta puo­lis­ta nä­kee, et­tä −1 joh­taa mää­rit­te­le­mät­tö­mään tu­lok­seen. Sik­si, jos ver­tai­lun mo­lem­mat puo­let ovat mää­rit­te­le­mät­tö­miä täs­mäl­leen sa­moil­la muut­tu­jien ar­voil­la, niin ai­na ei sa­no­ta sel­väs­ti, et­tä ne ar­vot on ra­jat­tu pois. Täs­sä teh­tä­väs­sä olem­me kui­ten­kin huo­lel­li­sia ja pi­däm­me kiin­ni sii­tä, et­tä
x+1
(x+1)2
=
1
x+1
ei ole tot­ta, el­lei ar­voa −1 ole erik­seen ra­jat­tu pois.

Mit­kä seu­raa­vis­ta ovat tot­ta?
xx + 1 vih­jeJos x = 0, niin tu­lee 0 ≥ 1.
x = 2x vih­jeJos x = 1, niin tu­lee 1 = 2.
x ≠ 2x vih­jeJos x = 0, niin tu­lee 0 ≠ 0.
x − 5
7
 + 0 =
x − 5
7
vih­jeTä­mä on tot­ta. Lai­te­taan­pa x:n pai­kal­le mi­kä reaa­li­lu­ku ta­han­sa, kum­pi­kin puo­li on mää­ri­tel­ty ja ne tuot­ta­vat sa­man ar­von.
7
x − 5
 + 0 =
7
x − 5
vih­jeJos x = 5, niin toi­ses­ta puo­les­ta tu­lee mää­rit­te­le­mä­tön (ja niin toi­ses­ta­kin). Sik­si tä­mä ei ole tot­ta.
x2 = x vih­jeJos x = −1, niin tu­lee 1 = −1.
(√x )2 = x vih­jeJos x = −1, niin va­sem­mas­ta puo­les­ta tu­lee mää­rit­te­le­mä­tön.
tai

Il­mauk­sel­la ”väi­te ei pi­dä paik­kaan­sa” tar­koi­te­taan, et­tä ei ole niin, et­tä väi­te on to­si. Syöt­teet­tö­män väit­teen ta­pauk­ses­sa se tar­koit­taa, et­tä väi­te on epä­to­si tai mää­rit­te­le­mä­tön. Syöt­teel­li­sen väit­teen ta­pauk­ses­sa se tar­koit­taa, et­tä on ole­mas­sa ai­na­kin yk­si syö­te, jol­la väi­te on epä­to­si tai mää­rit­te­le­mä­tön.

Vas­ta­esi­merk­ki on syö­te, jol­la väi­te on epä­to­si tai mää­rit­te­le­mä­tön. Jos väit­teel­le on ole­mas­sa yk­si­kin vas­ta­esi­merk­ki, niin väi­te ei pi­dä paik­kaan­sa. Esi­mer­kik­si x2 > 0 ei pi­dä paik­kaan­sa, kos­ka 0 on sil­le vas­ta­esi­merk­ki.

An­na vas­ta­esi­merk­ki väit­teel­le x2x. Nii­tä on mon­ta. Voit an­taa min­kä ta­han­sa. Mur­to­lu­vun voi kir­joit­taa tyy­liin 5/3.
tai

An­na vas­ta­esi­merk­ki väit­teel­le
1
x2
≥ 0.
tai

On tär­keää muis­taa, et­tä ”väi­te ei pi­dä paik­kaan­sa” tar­koit­taa eri asiaa kuin ”väi­te on ai­na epä­to­si”.

Mit­kä seu­raa­vis­ta ei­vät pi­dä paik­kaan­sa?
xx + 1
x = 2x
x ≠ 2x
x − 5
7
 + 0 =
x − 5
7
7
x − 5
 + 0 =
7
x − 5
x2 = x
(√x )2 = x
tai

Mit­kä seu­raa­vis­ta ovat ai­na epä­to­sia?
xx + 1
x = 2x
x ≠ 2x
x − 5
7
 + 0 =
x − 5
7
7
x − 5
 + 0 =
7
x − 5
x2 = x
(√x )2 = x
tai

On siis kol­me vaih­toeh­toa:

Toi­si­naan ha­lu­taan tuo­da esiin mah­dol­li­suus, et­tä väi­te ei eh­kä ole tot­ta, il­man et­tä sa­mal­la väi­te­tään, et­tä väi­te var­mas­ti ei ole tot­ta. Eh­kä ei tie­de­tä, on­ko se tot­ta. Eh­kä tie­de­tään, mut­ta ei ha­lu­ta pe­rus­tel­la si­tä (kaik­ki mi­tä ma­te­maat­ti­sis­sa to­dis­tuk­sis­sa väi­te­tään to­dek­si ja mi­tä lu­ki­jan ei voi olet­taa jo tie­tä­vän to­dek­si on pe­rus­tel­ta­va, ja to­dis­tuk­sen kir­joit­ta­ja voi tie­tää asioi­ta, joi­ta on sii­nä vai­hees­sa mah­do­ton pe­rus­tel­la lu­ki­jal­le). Sil­loin voi­daan käyt­tää yli­mää­räi­siä sa­no­ja te­ke­mään sel­väk­si, mi­tä tar­koi­te­taan. Esi­mer­kik­si usein sa­no­taan ”ei ole vält­tä­mät­tä tot­ta”.

Ti­lai­suu­den jär­jes­tä­jä aik­oo tar­jo­ta kah­via ja miet­tii, pi­täi­si­kö tar­jo­ta myös tee­tä. Mi­kä ero on seu­raa­vil­la kol­mel­la il­mauk­sel­la? Vas­tausTa­pauk­ses­sa 1 tie­de­tään, et­tä ai­na­kin yk­si ei juo kah­via. Ta­pauk­ses­sa 2 ei tie­de­tä, on­ko niin. Saat­taa ol­la, et­tä kaik­ki juo­vat kah­via, mut­ta saat­taa ol­la toi­sin­kin. Ta­pauk­ses­sa 3 on var­maa, et­tä kah­via ei tar­vi­ta.

  1. Kaik­ki ei­vät juo kah­via.
  2. Kaik­ki ei­vät vält­tä­mät­tä juo kah­via.
  3. Ku­kaan ei juo kah­via.

Kun väi­te muu­te­taan vas­tak­kai­sek­si väit­teek­si eli ne­ga­toi­daan, niin to­si muut­tuu epä­to­dek­si, epä­to­si muut­tuu to­dek­si ja mää­rit­te­le­mä­tön säi­lyy mää­rit­te­le­mät­tö­mä­nä. Täs­sä esi­merk­ki:

väi­te to­si kun  epä­to­si kun  mää­rit­te­le­mä­tön kun 
1
x
>
1
2
0 < x < 2 x ≥ 2 tai x < 0 x = 0
1
x
1
2
  x ≥ 2 tai x < 0 0 < x < 2 x = 0

Yleen­sä mei­tä kiin­nos­taa vain mil­lä syöt­teil­lä väi­te on tot­ta ja mil­lä ei ole. Erot­te­lu epä­to­den ja mää­rit­te­le­mät­tö­män vä­lil­lä ei yleen­sä ole kiin­nos­ta­va. Erot­te­lu on tar­peel­li­nen sik­si, et­tä kun väi­te ne­ga­toi­daan, niin epä­to­si muut­tuu to­dek­si mut­ta mää­rit­te­le­mä­tön ei muu­tu. Esi­mer­kik­si vaik­ka x ≥ 3 täs­mäl­leen sil­loin kun x ≥ 9, ei pi­dä paik­kaan­sa et­tä x < 3 täs­mäl­leen sil­loin kun x < 9. Sen si­jaan x < 3 täs­mäl­leen sil­loin kun 0 ≤ x < 9, kos­ka x on mää­rit­te­le­mä­tön kun x < 0.

Tär­kein asia on, et­tä väit­teen to­dis­ta­mi­sek­si oi­keak­si on to­dis­tet­ta­va, et­tä se on to­si jo­kai­sel­la syöt­teel­lä, mut­ta väit­teen ku­moa­mi­sek­si riit­tää esit­tää sil­le yk­si vas­ta­esi­merk­ki.

Täs­tä pe­riaat­tees­ta seu­raa sel­lai­nen­kin asia, et­tä jos väit­teel­lä muo­dol­li­ses­ti on syö­te mut­ta mi­kään ar­vo ei kel­paa syöt­teen ar­vok­si, niin väi­te on tot­ta. Esi­mer­kik­si seu­raa­val­le oh­jel­mal­le on tot­ta, et­tä x = 6 ai­na kun suo­ri­tus on koh­das­sa K. Oh­jel­ma ei pää­se sin­ne, jo­ten kos­kaan ei ole niin, et­tä oh­jel­ma on siel­lä ja x:n ar­vo ei ole 6. Sik­si väit­teel­le ei ole yh­tään vas­ta­esi­merk­kiä, jo­ten se on tot­ta.

x := y2
if x < 0 then koh­ta K

Tä­mä voi tun­tua jär­jen­vas­tai­sel­ta. Pit­kä tut­ki­mus on kui­ten­kin osoit­ta­nut, et­tä se ei ai­heu­ta ris­ti­rii­to­ja ja asian on ol­ta­va juu­ri näin, jot­ta lo­giik­ka toi­mi­si kun­nol­la. Voi tun­tua sil­tä, et­tä jos mi­kään ar­vo ei kel­paa syöt­teen ar­vok­si, niin väit­teen pi­täi­si ol­la epä­to­si tai mää­rit­te­le­mä­tön. Jos näin me­ne­tel­täi­siin, niin seu­raa­va väi­te oli­si tai ei oli­si tot­ta sen mu­kaan, voi­ko koh­taan K pääs­tä: ”x < 6 ai­na kun seu­raa­van oh­jel­man suo­ri­tus on koh­das­sa K”. Sil­loin if-lau­seen eh­to ei yk­si­nään riit­täi­si ta­kaa­maan, et­tä x < 0 (ja si­ten x < 6) koh­das­sa K, vaan täy­tyi­si li­säk­si to­dis­taa, et­tä sin­ne to­del­la voi­daan pääs­tä. Tä­mä te­ki­si päät­te­le­mi­ses­tä pal­jon han­ka­lam­paa.

x := jo­ta­kin hy­vin mo­ni­mut­kais­ta
if x < 0 then koh­ta K

Täs­tä seu­raa, et­tä mo­lem­mat seu­raa­vis­ta voi­vat ol­la yh­tä­ai­kaa tot­ta:

Sil­loin voi­daan pää­tel­lä, et­tä suo­ri­tus ei voi pääs­tä koh­taan K.

Oh­jel­mis­ta pää­tel­les­sä voi to­del­la syn­tyä tä­män­kal­tai­nen ti­lan­ne.

n := n2 + 10
while n ≥ 0 do
    n := (n div 2) + 1
koh­ta K

Jo­kai­nen n:ään si­joi­tet­ta­va ar­vo on po­si­tii­vi­nen, jo­ten kaik­kial­la en­sim­mäi­sen ri­vin jäl­keen pä­tee n > 0. Sik­si se pä­tee koh­das­sa K. Toi­saal­ta sil­mu­kan eh­don vuok­si n < 0 koh­das­sa K.

Mik­si en sa­no­nut, et­tä kaik­kial­la en­sim­mäi­sen ri­vin jäl­keen pä­tee n ≥ 2?
En tien­nyt, et­tä se on tot­ta.
Tie­sin kyl­lä, mut­ta en ha­lun­nut pe­rus­tel­la si­tä, kos­ka se vei­si huo­mion pois pää­asias­ta. Pää­asial­le riit­ti hel­pom­min pe­rus­tel­ta­va väi­te n > 0.
tai
Kyl­lä mä tän ym­mär­rän, mut­ta kun mun ai­vot ei.

[Mä­ki­hyp­pää­jä Mat­ti Ny­kä­nen 2019]

Mat­ti Ny­kä­sen ja kol­men muun neu­vo, kuin­ka us­ko­mat­to­mien väit­tei­den kans­sa kan­nat­taa me­ne­tel­lä, löy­tyy tääl­tä.