Lyhyt MathCheck-ohje (uuteen välilehteen)
Tässä tehtävässä tutustumme tekijän, suurimman yhteisen tekijän ja alkuluvun käsitteisiin. Luonnolliset luvut ovat 0, 1, 2, ….
Luonnollinen luku `h` on luonnollisen luvun `n` tekijä jos ja vain jos on olemassa luonnollinen luku `k` siten, että `n = hk`. Tällöin myös `k` on `n`:n tekijä. Esimerkiksi 3 ja 4 ovat 12:n tekijöitä, koska 12 = 3 · 4 = 4 · 3.
Koska jokaiselle luonnolliselle luvulle `n` pätee `n = 1n`, on ykkönen jokaisen luonnollisen luvun tekijä. Koska jokaiselle luonnolliselle luvulle `h` pätee `0 = h * 0`, on jokainen luonnollinen luku nollan tekijä.
Kirjoita kullekin seuraavista luvuista suurin tekijä, joka on lukua itseään pienempi.
Alkuluku on ykköstä suurempi luonnollinen luku, jolla ei ole muita tekijöitä kuin 1 ja luku itse. Edellä näimme, että luvulla 18 on ja luvulla 19 ei ole muitakin tekijöitä kuin 1 ja luku itse. Siksi 19 on ja 18 ei ole alkuluku.
Luonnollisen luvun `n` alkutekijä on alkuluku, joka on `n`:n tekijä. Jokainen ykköstä suurempi luonnollinen luku voidaan esittää täsmälleen yhdellä tavalla alkutekijöiden tulona kasvavassa suuruusjärjestyksessä. Esimerkiksi 12 = 2 · 2 · 3 = 2 · 3 · 2 = 3 · 2 · 2, mutta näistä vain 2 · 2 · 3 on kasvavassa suuruusjärjestyksessä.
Tehtäviä tyyppiä ”esitä alkutekijöiden tulona” on hauskempi tehdä, jos tuntee helppoja keinoja testata, onko jokin pieni alkuluku annetun luonnollisen luvun tekijä. Tässä kohdassa opettelemme uuden sanan: `n` on jaollinen `m`:llä jos ja vain jos `m` on `n`:n tekijä.
Olemme hoksanneet, että jos on kaksi luonnollista lukua, joista ainakin toinen ei ole 0, niin niillä on ainakin yksi yhteinen tekijä, mutta ei voi olla miten suuria yhteisiä tekijöitä tahansa. Siksi niillä on suurin yhteinen tekijä.
Kahden luonnollisen luvun suurin yhteinen tekijä voidaan löytää esittämällä luvut alkutekijöiden tuloina ja poimimalla ne alkutekijät, jotka esiintyvät molemmissa. Alkutekijä otetaan mukaan niin monta kertaa, kuin se esiintyy siinä luvussa, jossa se esiintyy vähemmän kertoja. Esimerkiksi koska 45 = 3 · 3 · 5 ja 54 = 2 · 3 · 3 · 3, niiden suurin yhteinen tekijä on 3 · 3 = 9. Koska 12 = 2 · 2 · 3 ja 66 = 2 · 3 · 11, niiden suurin yhteinen tekijä on 2 · 3 = 6.
Tämä tapa etsiä suurin yhteinen tekijä on käytännöllinen vain pienillä luonnollisilla luvuilla, koska suurten luonnollisten lukujen jakaminen tekijöihin on työlästä. Parempi tapa löytää suurin yhteinen tekijä tunnetaan nimellä (moderni) Eukleideen algoritmi. Tutustumme siihen joskus toiste.
Murtoluvut sievennetään usein muotoon, jossa osoittaja ja nimittäjä ovat mahdollisimman pienet. Tämä tapahtuu jakamalla sekä osoittaja että nimittäjä niiden suurimmalla yhteisellä tekijällä. Esimerkiksi syt(28,42) = 14, joten `28/42 = 2/3`.
Sievennä seuraavat murtoluvut.
Tämä riittäköön tällä kertaa.