Teh­tä­vä:
Pro­po­si­tio­lo­gii­kan pe­rus­ope­raat­to­rit

Ly­hyt Math­Check-oh­je (uu­teen vä­li­leh­teen)

Ol­koot käy­tet­tä­vis­sä ope­raat­to­rit ∧ eli ”ja”, ∨ eli ”tai” se­kä ¬ eli ”ei”, se­kä seu­raa­vat pro­po­si­tiot:

KOtan kah­via.
TOtan tee­tä.
MOtan mai­toa.
SOtan so­ke­ria.
POtan pul­laa.

Nä­mä ope­raat­to­rit voi­daan kir­joit­taa Math­Checkil­le seu­raa­vas­ti (mui­ta­kin ta­po­ja on):

∧/\
∨\/
¬!

En­nen kuin jat­kam­me, va­lit­se seu­raa­vis­ta vaih­to­eh­dois­ta:
Ym­mär­rän, et­tä vaik­ka ! on ei-ope­raat­to­rin sym­bo­li Math­Checkis­sä ja mo­nis­sa oh­jel­moin­ti­kie­lis­sä, se ei ole ei-ope­raat­to­rin sym­bo­li ma­te­ma­tii­kas­sa. Ten­tis­sä pi­tää kir­joit­taa ¬. Mer­kin­nän ! käyt­tö ten­tis­sä ei-ope­raat­to­rin sym­bo­li­na saat­taa ai­heut­taa pis­tei­den me­ne­tys­tä.
En ym­mär­rä. Mi­nus­ta ten­tis­sä pi­tää kel­va­ta sa­ma ei-ope­raat­to­ri kuin Math­Checkis­sä­kin.
tai

Kir­joi­ta seu­raa­vat väit­tä­mät:

Otan kah­via mai­don kans­sa.
tai

En ota so­ke­ria.
tai

Otan tee­tä il­man so­ke­ria.
tai

Otan mai­toa tai so­ke­ria.
tai

Otan kah­via tai tee­tä, mut­ta en mo­lem­pia.
tai

En ota teen kans­sa pul­laa.
tai

Ol­koot käy­tet­tä­vis­sä myös ope­raat­to­rit → eli ”jos … niin” se­kä ↔ eli ”jos ja vain jos” (kir­joi­te­taan Math­Checkil­le --> ja <->).

Jos otan kah­via, otan myös pul­laa.
tai

Jos otan tee­tä, en ota so­ke­ria.
tai

Otan tee­tä jos ja vain jos en ota kah­via.
tai

Jos otan kah­via tai tee­tä, niin otan mai­toa tai so­ke­ria.
tai

Jos otan kah­via niin otan so­ke­ria, ja jos otan tee­tä niin otan mai­toa.
tai

Otan mai­toa ja so­ke­ria jos ja vain jos otan kah­via.
tai

Täs­tä eteen­päin ha­lu­taan mah­dol­li­sim­man ly­hyt vas­taus. Se saat­taa ol­la ra­ken­teel­taan olen­nai­ses­ti eri­lai­nen kuin sa­nal­li­nen il­maus, mut­ta tar­koit­taa sil­ti loo­gi­ses­ti sa­maa. Esi­mer­kik­si ”Otan kah­via ja en ota kah­via” on suo­raan kaa­vak­si kään­net­ty­nä K ∧ ¬K, mut­ta se tar­koit­taa sa­maa kuin F eli ”false” eli epä­to­si. Math­Checkis­sä ”false” ja ”true” kir­joi­te­taan FF ja TT. Koh­tien jäl­keen on poh­din­taa, jo­ka saat­taa ol­la avuk­si joi­den­kin niis­tä rat­kai­se­mi­ses­sa.

Jos en ota mai­toa, otan so­ke­ria.
tai

Otan kah­via ja pul­laa tai en kum­paa­kaan.
tai

En ota mai­toa en­kä so­ke­ria.
tai

Otan pul­laa tai en ota pul­laa.
tai

Jos otan mai­toa, niin en ota mai­toa.
tai

Jos otan pul­laa, niin otan tee­tä. Otan pul­laa.
tai

Otan pul­laa jos ja vain jos kuu on vih­reää juus­toa.
tai

Otan pul­laa jos kuu on vih­reää juus­toa.
tai

Jos otan pul­laa, niin kuu on vih­reää juus­toa.
tai

Joi­den­kin on vai­kea op­pia tai hy­väk­syä si­tä, et­tä jos X on ai­na epä­tot­ta, niin X → Y on tot­ta riip­pu­mat­ta sii­tä, mi­tä Y on. Esi­mer­kik­si väi­te ”kuu on vih­reää juus­toa” → ”Hel­sin­ki on Yh­dys­val­to­jen pää­kau­pun­ki” on tot­ta, niin jär­jet­tö­mäl­tä kuin se kuu­los­taa­kin. Yk­si ta­pa aja­tel­la tä­tä on, et­tä X → Y on mää­ri­tel­ty tar­koit­ta­maan sa­maa kuin ¬X ∨ Y. Jos X on ai­na F, niin ¬X ja ¬X ∨ Y ovat ai­na T riip­pu­mat­ta sii­tä, mi­kä Y on.

Mik­si X → Y on mää­ri­tel­ty näin ty­pe­räs­ti? Sik­si, et­tä sen lä­hem­mäk­si luon­nol­li­sen kie­len il­maus­ta ”jos … niin” ei yk­sin­ker­tai­sel­la mää­ri­tel­mäl­lä voi pääs­tä. Tar­koit­ta­koon H ”olen huo­nees­sa­ni” ja K ”olen ha­ke­mas­sa kah­via”. Mi­tä tar­koi­te­taan, kun sa­no­taan ”jos en ole huo­nees­sa­ni, niin olen ha­ke­mas­sa kah­via”? Se tar­koit­taa, et­tä olen huo­nees­sa­ni tai olen ha­ke­mas­sa kah­via. (Sii­nä on eh­kä mu­ka­na vi­vah­de, et­tä to­den­nä­köi­sem­min olen huo­nees­sa­ni kuin ha­ke­mas­sa kah­via, mut­ta sel­lai­sia vi­vah­tei­ta lo­gii­kan → ei yri­tä esit­tää.) Siis ¬H → K tar­koit­taa sa­maa kuin H ∨ K, mi­kä täs­mää täy­sin sii­hen, et­tä H → K tar­koit­taa sa­maa kuin ¬H ∨ K.

Toi­nen ta­pa aja­tel­la tä­tä on vas­ta­esi­merk­kien kaut­ta: väit­tä­mä on tot­ta, jos se on hy­vin mää­ri­tel­ty (toi­sin kuin esim.
1
0
> 0) ja sil­le ei ole vas­ta­esi­merk­kiä eli ti­lan­net­ta, jos­sa se ei pä­de. Väit­tä­män X → Y vas­ta­esi­merk­ki on ti­lan­ne, jos­sa X pä­tee mut­ta Y ei pä­de. Esi­mer­kik­si x = −2 on vas­ta­esi­merk­ki väit­tä­mäl­le x2 ≥ 4 → x ≥ 2, kos­ka (−2)2 ≥ 4 pä­tee mut­ta −2 ≥ 2 ei pä­de. Jos X on ai­na epä­tot­ta, niin ei voi­da löy­tää ti­lan­net­ta jos­sa X pä­tee mut­ta Y ei pä­de, kos­ka ei voi­da löy­tää ti­lan­net­ta jos­sa X pä­tee. Sil­loin vas­ta­esi­merk­ke­jä ei ole, jo­ten X → Y on tot­ta.

Kan­nat­taa siis muis­taa, et­tä X → Y tar­koit­taa sa­maa kuin ¬X ∨ Y, vaik­ka sii­tä seu­rai­si kum­mal­li­sen tun­tui­sia asioi­ta. Ne kum­mal­li­sen tun­tui­set asiat ovat lo­gii­kan mu­kai­sia — tie­tys­ti sil­lä va­rauk­sel­la, et­tä päät­te­lys­sä ei teh­ty vir­het­tä. Jos et löy­tä­nyt vas­taus­ta edel­lä jo­hon­kin koh­taan, niin yri­tä uu­del­leen aseis­tau­tu­nee­na tie­dol­la, et­tä X → Y tar­koit­taa sa­maa kuin ¬X ∨ Y.

Mit­kä seu­raa­vis­ta pi­tä­vät paik­kan­sa?
Jos kuu on vih­reää juus­toa, niin mi­nä olen Rans­kan kei­sa­ri Na­po­leon.
Jos kuu on vih­reää juus­toa, niin 1=2.
Jos kuu on vih­reää juus­toa, niin 1=1.
Jos kuu on vih­reää juus­toa, niin x > 3.
Jos x = x+1, niin 1 < 0.
Jos x = x+1, niin x > 7.
Jos x = x+1, niin vy$u#sVt7%iewd.
tai

Mi­tä tar­koit­taa ”jos Jaak­ko pi­tää suk­laas­ta, niin Jaak­ko ei pi­dä suk­laas­ta”? Va­lit­se oi­kea vaih­to­eh­to.
Se on it­sen­sä kans­sa ris­ti­rii­das­sa ja sik­si ai­na epä­tot­ta.
Se on vir­heel­li­ses­ti muo­toil­tu väit­tä­mä, ei­kä tar­koi­ta mi­tään.
Se tar­koit­taa ”Jaak­ko ei pi­dä suk­laas­ta”.
tai

Tä­mä teh­tä­vä lop­puu tä­hän!