Lyhyt MathCheck-ohje (uuteen välilehteen)
Tässä tehtävässä kerrataan murtolausekkeiden laskusääntöjä.
Murtolausekkeiden kertolasku on helppoa: tuloksen osoittaja saadaan kertomalla tekijöiden osoittajat keskenään, ja tuloksen nimittäjä saadaan kertomalla tekijöiden nimittäjät keskenään. Esimerkiksi `5/6 * 8/3``=``(5*8)/(6*3)``=``40/18`. Laske seuraavat kertolaskut.
Murtolausekkeesta saa poistaa osoittajan ja nimittäjän yhteiset tekijät. Tätä kutsutaan supistamiseksi. Esimerkiksi `40/18``=``(2*20)/(2*9)``=``20/9`. Tulos on pätevä vain kun alkuperäinen nimittäjä ei ole nolla tai lopputuloksen nimittäjä on nolla. Esimerkiksi väite `((x-1)^2)/((x-1)(x+2))``=``(x-1)/(x+2)` on pätevä vain kun `x != 1`, koska vasen puoli tuottaa nollalla jaon jos `x=1` mutta oikea puoli ei tuota. Sijoittamalla `x=1` saataisiin `0/0 = 0/3` eli `0/0 = 0`, mikä on väärin. Siis esimerkissämme on tarpeen erikseen kieltää arvo `x=1`.
Kun `x=-2`, esimerkkimme tuottaa `9/0 = (-3)/0`. Siis molemmat puolet tuottavat nollalla jaon. Luvut, jotka saavat molemmat puolet tuottamaan määrittelemättömän, ajatellaan automaattisesti pois suljetuiksi. Siksi ei tarvitse erikseen vaatia, että `x!=-2`. Lausekkeesta `(x-1)/(x+2)` näkyy, että `x` ei voi olla `-2`, joten sitä ei tarvitse sanoa erikseen. Siitä ei näy, että `x` ei voi olla `1`, joten se täytyy sanoa erikseen. Muilla arvoilla kuin `1` ja `-2` molemmat puolet ovat määriteltyjä ja tuottavat saman tuloksen. Siis on tarpeen erikseen kieltää arvo `x=1`, mutta muita arvoja ei tarvitse kieltää.
MathCheckissä tällaisia kieltoja voi ilmaista kirjoittamalla alkuun assume ehto ;
Jos nimittäjä muuttuu ykköseksi, sen ja jakoviivan saa jättää pois.
Supista seuraavat murtolausekkeet.
Kertolaskussa voidaan poistaa toisen osoittajan ja toisen nimittäjän yhteinen tekijä saman tien, sen sijaan että se ensin kirjoitettaisiin tulokseen ja sitten supistettaisiin pois. Tee niin (siis poista heti) seuraavissa osatehtävissä. Tässäkin tapauksessa pitää tarvittaessa sulkea alkuperäisten nimittäjien nollakohtia pois.
Murtolausekkeiden jakolaskun tuloksen osoittaja saadaan kertomalla jaettavan osoittaja jakajan nimittäjällä, ja tuloksen nimittäjä saadaan kertomalla jaettavan nimittäjä jakajan osoittajalla. Esimerkiksi `(5/6)/(8/3)``=``(5*3)/(6*8)``=``15/48``=``5/16`. Tulos on sama kuin mikä saadaan vaihtamalla jakajan osoittaja ja nimittäjä keskenään ja sitten suorittamalla kertolasku. Koska jakajan nimittäjä nousee tuloksen osoittajaan, sen nollakohdat edustavat nollalla jakoa alkuperäisessä lausekkeessa mutta ei välttämättä lopputuloksessa. Siksi saattaa olla tarpeen merkitä näkyviin, että jakajan nimittäjä ei saa olla nolla.
Jakolaskussa voidaan poistaa molempien osoittajien yhteinen tekijä saman tien, sen sijaan että se ensin kirjoitettaisiin tulokseen ja sitten supistettaisiin pois. Sama pätee molempien nimittäjien yhteiseen tekijään. Nytkin saattaa olla tarpeen merkitä poistettujen tekijöiden nollakohdat kielletyiksi arvoiksi.
Murtolausekkeiden jakolasku on siis melkein yhtä helppoa kuin murtolausekkeiden kertolasku. Laske seuraavat jakolaskut.
Murtolausekkeiden yhteenlasku edellyttää, että nimittäjät muunnetaan samanlaisiksi. Se tapahtuu laventamalla eli kertomalla osoittaja ja nimittäjä samalla lausekkeella. Nytkin tulos on pätevä vain siltä osin kuin laventaja ei ole nolla. Onneksi laventaja on yleensä toisen yhteenlaskettavan nimittäjän tekijä, jolloin sekä yhteenlasku että sen lopputulos ovat määrittelemättömiä laventajan nollakohdissa, joten laventajan nollakohtia ei tarvitse erikseen merkitä kielletyiksi.
Laventajana voi aina käyttää toisen yhteenlaskettavan nimittäjää. Jos yhteenlaskettavien nimittäjillä on yhteisiä tekijöitä, ne saa jättää pois laventajasta. Se yleensä yksinkertaistaa lausekkeita. Esimerkiksi laskettaessa `10/6 + 1/4` kannattaa ensimmäinen yhteenlaskettava laventaa kakkosella ja jälkimmäinen kolmosella, jolloin saadaan `20/12 + 3/12`.
Kun nimittäjät on saatu samoiksi, se otetaan tuloksen nimittäjäksi. Tuloksen osoittaja saadaan laskemalla yhteenlaskettavien osoittajat yhteen. Esimerkiksi `10/6 + 1/4``=``20/12 + 3/12``=``(20+3)/12``=``23/12`.
Vähennyslasku tapahtuu muuten kuten yhteenlasku, mutta vähentäjän osoittajan merkki vaihdetaan ennen osoittajien laskemista yhteen. Esimerkiksi `1/x - 1/(x+1)``=``(x+1)/(x(x+1)) - x/(x(x+1))``=``(x+1-x)/(x(x+ 1))``=``1/(x(x+1))`.
Laske seuraavat yhteen- ja vähennyslaskut.
Taas tuli harjoiteltua! Jos tuntuu vaikealta muistaa, milloin nimittäjän nollakohdat pitää merkitä kielletyiksi, niin voit merkitä ne aina kielletyiksi (ainakin silloin kun lasket kynällä paperille etkä ole täyttämässä veppilomaketta, jossa on tilaa vain välttämättömille kiellettäville).