Teh­tä­vä:
Ka­nan­pa­lat

Ly­hyt Math­Check-oh­je (uu­teen vä­li­leh­teen)

Fri­tee­rat­tu­ja ka­nan­pa­lo­ja saa 6:n, 9:n ja 20:n pak­kauk­sis­sa. Ta­san 21 ka­nan­pa­laa voi os­taa os­ta­mal­la kak­si 6:n ja yh­den 9:n pa­lan pak­kauk­sen. Ta­san 19 ka­nan­pa­laa ei voi os­taa mil­lään. Ta­voit­teem­me on sel­vit­tää, mi­kä on suu­rin mää­rä ka­nan­pa­lo­ja, jo­ta ei voi os­taa mil­lään.

Luet­te­le kuu­si pie­nin­tä mää­rää, jot­ka saa muo­dos­tet­tua os­ta­mal­la pel­käs­tään kuu­den pa­lan pak­kauk­sia. Luet­te­le ne pie­nim­mäs­tä al­kaen kas­va­vas­sa suu­ruus­jär­jes­tyk­ses­sä. En­sim­mäi­nen vas­taus on an­net­tu val­mii­na: kun os­taa nol­la pak­kaus­ta, saa nol­la ka­na­pa­laa.
only_no_yes_on ok_text Oi­kein! hide_expr 0=0arithmetic hide_expr 6=arithmetic hide_expr 12=arithmetic hide_expr 18=arithmetic hide_expr 24=arithmetic hide_expr 30= tai

Luet­te­le kuu­si pie­nin­tä mää­rää, jot­ka saa muo­dos­tet­tua os­ta­mal­la pel­käs­tään kuu­den ja/tai yh­dek­sän pa­lan pak­kauk­sia.
only_no_yes_on ok_text Jäl­leen oi­kein! hide_expr 0=arithmetic hide_expr 6=arithmetic hide_expr 9=arithmetic hide_expr 12=arithmetic hide_expr 15=arithmetic hide_expr 18= tai

Luet­te­le seit­se­män pie­nin­tä ei-ne­ga­tii­vis­ta kol­mel­la jaol­lis­ta ko­ko­nais­lu­kua.
only_no_yes_on ok_text Ai­na vain oi­kein! /*Toi­vot­ta­vas­ti huo­ma­sit se­kä sa­man­kal­tai­suu­den et­tä eron edel­li­seen vas­tauk­seen.*/ hide_expr 0=arithmetic hide_expr 3=arithmetic hide_expr 6=arithmetic hide_expr 9=arithmetic hide_expr 12=arithmetic hide_expr 15=arithmetic hide_expr 18= tai

Teem­me kak­si ha­vain­toa kos­kien 6 ja 9 (mut­ta ei 20) pa­lan pak­kauk­sis­ta muo­dos­tet­ta­vis­sa ole­via lu­ku­ja:

1. Ne ovat kaik­ki kol­mel­la jaol­li­sia. Tä­mä on help­po huo­ma­ta to­dek­si: 6 pa­lan pak­kauk­ses­ta kol­me ih­mis­tä saa 2 pa­laa ku­kin ei­kä yh­tään pa­laa jää yli. 9 pa­lan pak­kauk­ses­ta kol­me ih­mis­tä saa 3 pa­laa ku­kin ei­kä yh­tään pa­laa jää yli. Kos­ka jo­kai­nen pak­kaus erik­seen voi­daan ja­kaa ta­san, myös mi­kä ta­han­sa ko­koel­ma pak­kauk­sia voi­daan ja­kaa ta­san.
2. Ai­noa kol­mel­la jaol­li­nen po­si­tii­vi­nen ko­ko­nais­lu­ku, jo­ta ei saa muo­dos­tet­tua, on 3.

Pe­rus­te­le it­sel­le­si, et­tä kol­mea pa­laa ei saa muo­dos­tet­tua. Asia on help­po, mut­ta päät­te­le­mi­sen har­joit­te­le­mi­nen kan­nat­taa aloit­taa hel­poil­la asioil­la. Kun olet val­mis, kat­so opet­ta­jan muo­toi­le­ma pe­rus­te­lu täs­tä. 6 pa­lan pak­kaus si­säl­tää lii­kaa pa­lo­ja. 9 pa­lan pak­kaus si­säl­tää lii­kaa pa­lo­ja. Jos pak­kauk­sia ote­taan mon­ta, niin pa­lo­ja tu­lee vie­lä enem­män lii­kaa. Ei yh­tään pak­kaus­ta ei tuo­ta 3 pa­laa, kos­ka se tuot­taa 0 pa­laa.

Poh­dim­me het­ken tä­män pää­tel­män ra­ken­net­ta. Se ja­kau­tui kol­meen ta­pauk­seen, jot­ka yh­des­sä kat­toi­vat kaik­ki mah­dol­li­suu­det. Mit­kä ne oli­vat, ja mi­ten yk­si niis­tä käyt­ti tois­ta apu­naan? Kun olet miet­ti­nyt, kat­so opet­ta­jan vas­taus täs­tä. Ta­pauk­set oli­vat (a) nol­la pak­kaus­ta, (b) yk­si pak­kaus ja (c) vä­hin­tään kak­si pak­kaus­ta. Niis­tä (c) käyt­ti (b):tä: kos­ka jo yk­si­kin pak­kaus tuot­taa lii­kaa pa­lo­ja, niin mon­ta pak­kaus­ta tuot­taa myös lii­kaa.

Olem­me­ko to­dis­ta­neet väit­tä­män B, siis et­tä ai­noa kol­mel­la jaol­li­nen po­si­tii­vi­nen ko­ko­nais­lu­ku, jo­ta ei saa muo­dos­tet­tua, on 3? only_no_yes_on hide_expr ok_text Näin on ☺! Em­me ole to­dis­ta­neet, et­tä kaik­ki muut kol­mel­la jaol­li­set saa­daan pait­si 3. Siis sa­na ”ai­noa” on kä­sit­te­le­mät­tä.

	Kyl­lä
	Ei
Et kai si­nä tä­tä aio va­li­ta!	En tie­dä

tai

Ta­pauk­set 0, 6, 12, 18, 24, … hoi­det­tiin edel­lä, ja vaik­ka ei oli­si­kaan hoi­det­tu, niin tai­taa ol­la ihan sel­vä jut­tu?Ne saa­daan os­ta­mal­la 0, 1, 2, 3, 4, … kuu­den pa­lan pak­kaus­ta. Niis­tä kol­mel­la jaol­li­sis­ta ta­pauk­sis­ta, jot­ka pi­tää vie­lä hoi­taa (siis muut kuin 0, 6, 12, 18, 24, …), luet­te­le kuu­si pie­nin­tä.
only_no_yes_on ok_text Osa­sit! hide_expr 9=arithmetic hide_expr 15=arithmetic hide_expr 21=arithmetic hide_expr 27=arithmetic hide_expr 33=arithmetic hide_expr 39= tai

Puut­tu­vat kol­mel­la jaol­li­set ta­pauk­set saa­daan näin.(Muis­tit­han miet­tiä en­sin it­se?) Os­te­taan yk­si 9 pa­lan pak­kaus ja tar­vit­ta­va mää­rä 6 pa­lan pak­kauk­sia.

Kun to­dis­tim­me väit­tä­män B, em­me lain­kaan ot­ta­neet huo­mioon, et­tä voi­daan os­taa sa­mal­la ker­taa esim. kak­si 9 pa­lan pak­kaus­ta ja nel­jä 6 pa­lan pak­kaus­ta. Mik­si tä­mä ei ole on­gel­ma? Open se­li­tysTa­voit­tee­na oli to­dis­taa, et­tä kaik­ki lu­vut 0, 6, 9, 12, 15, 18, … (kol­mo­nen puut­tuu tar­koi­tuk­sel­la) saa­daan muo­dos­tet­tua. Riit­tää, et­tä ne saa­daan muo­dos­tet­tua jol­lain ta­val­la. Os­ta­mal­la kak­si tai useam­pia 9 pa­lan pak­kauk­sia saa­daan yli­mää­räi­siä ta­po­ja muo­dos­taa ym. lu­ku­ja, mut­ta nii­tä ei tar­vi­ta, kos­ka sa­mat lu­vut saa­daan jo kä­si­tel­lyil­lä ta­voil­la.

Oli­ko väit­tä­mä A täs­sä suh­tees­sa sa­man­lai­nen vai eri­lai­nen? Open se­li­tysEri­lai­nen. Siel­lä pi­ti ot­taa huo­mioon kaik­ki mah­dol­li­set yh­dis­tel­mät 6 ja 9 pa­lan pak­kauk­sis­ta. Pi­ti to­dis­taa, et­tä mi­kään yh­dis­tel­mä ei tuo­ta mui­ta kuin kol­mel­la jaol­li­sia lu­ku­ja.

Vie­lä on miet­ti­mät­tä, mi­tä saa­daan ai­kaan, jos os­tok­ses­sa saa ol­la mu­ka­na myös 20 pa­lan pak­kauk­sia. On help­po hok­sa­ta, et­tä jos os­taa kol­me 20 pa­lan pak­kaus­ta, niin se ei tuo li­sää lu­ku­ja ver­rat­tu­na nii­hin, jot­ka osaam­me jo muo­dos­taa. Mik­si?Kol­mel­la 20 pa­lan pak­kauk­sel­la saa­daan 60 pa­laa. Sa­ma mää­rä saa­daan kym­me­nel­lä kuu­den pa­lan pak­kauk­sel­la.

Koh­ta mie­tim­me, mi­tä saa­daan ai­kaan yh­del­lä tai kah­del­la 20 pa­lan pak­kauk­sel­la. Mik­si nel­jä tai vii­si tai mi­kään kah­ta suu­rem­pi mää­rä 20 pa­lan pak­kauk­sia ei tuo li­säar­voa? Open lö­pi­näKaik­ki sel­lai­set ta­pauk­set ovat muo­toa ”enin­tään kak­si 20 pa­lan pak­kaus­ta plus jo­kin kol­mel­la jaol­li­nen mää­rä 20 pa­lan pak­kauk­sia”. Jäl­kim­mäi­nen osuus tuot­taa jon­kin mo­ni­ker­ran 60 pa­las­ta, ja se saa­daan os­ta­mal­la jo­kin mo­ni­ker­ta ryh­miä, jois­ta jo­kai­ses­sa on kym­me­nen kuu­den pa­lan pak­kaus­ta. Sik­si vain en­sim­mäi­nen ja toi­nen 20 pa­lan pak­kaus voi­vat tuot­taa li­sää mah­dol­li­suuk­sia.

Jos os­te­taan yk­si 20 pa­lan pak­kaus ja sen li­säk­si mie­li­val­tai­nen ko­koel­ma 6 ja 9 pa­lan pak­kauk­sia, ja jae­taan si­säl­tö 3 hen­ki­löl­le, niin kuin­ka mon­ta pa­laa jää yli, ja mik­si juu­ri se mää­rä?
ok_text Hy­vin su­juu! /*6 ja 9 pa­lan pak­kaus­ten si­säl­tö ja­kau­tuu ta­san. 20 pa­lan pak­kauk­ses­ta jo­kai­nen saa 6 pa­laa ja yli jää 2 pa­laa.*/ hide_expr only_no_yes_on f_nodes 1 2 = tai

Saam­me siis ai­kaan vain lu­ku­ja, joi­den ja­ko­jään­nös kol­mel­la jaet­taes­sa on 2. Nii­tä­kään em­me saa kaik­kia. Luet­te­le kuu­si pie­nin­tä, jot­ka saa­daan. Vih­jePie­nin, jo­ka saa­daan ai­kaan on 20. Sii­hen voi­daan li­sä­tä mi­kä ta­han­sa mää­rä, jo­ka saa­daan ai­kaan 6 ja 9 pa­lan pak­kauk­sil­la. Li­sä­vih­jeEdel­lä näim­me, et­tä täl­lai­set mää­rät ovat 0, 6, 9, 12, 15, 18, …, mut­ta ei 3.
ok_text Tä­mä koh­ta oi­kein! only_no_yes_on hide_expr 20=arithmetic hide_expr 26=arithmetic hide_expr 29=arithmetic hide_expr 32=arithmetic hide_expr 35=arithmetic hide_expr 38= tai

Mi­kä on suu­rin lu­ku, jon­ka ja­ko­jään­nös kol­mel­la jaet­tu­na on 2 ja jo­ta ei voi muo­dos­taa?
ok_text Olet edel­leen oi­keas­sa! only_no_yes_on hide_expr 23= tai

Sa­mal­la ta­val­la voi­daan sel­vit­tää suu­rin lu­ku, jon­ka ja­ko­jään­nös kol­mel­la jaet­tu­na on 1 ja jo­ta ei voi muo­dos­taa. Mi­kä se on? Vih­jeOs­te­taan kak­si 20 pa­lan pak­kaus­ta ja va­paas­ti 6 ja 9 pa­lan pak­kauk­sia. Mik­si tä­mä ta­paus kä­sit­te­lee ja­ko­jään­nök­sen 1?Kak­si 20 pa­lan pak­kaus­ta si­säl­tää 40 pa­laa, jois­ta riit­tää kol­mel­le ih­mi­sel­le 13 kul­le­kin ja yk­si jää yli.
ok_text Hie­noa! Lop­pu­suo­ra hää­möt­tää jo! only_no_yes_on hide_expr 43= tai

Nyt tie­däm­me kol­mes­sa ta­pauk­ses­sa suu­rim­man lu­vun, jo­ta ei voi muo­dos­taa:

• Kol­mel­la ja­ko me­nee ta­san.
• Kol­mel­la ja­ko jät­tää ja­ko­jään­nök­sek­si yh­den.
• Kol­mel­la ja­ko jät­tää ja­ko­jään­nök­sek­si kak­si.

Mui­ta ta­pauk­sia ei ole. Mi­kä siis on suu­rin mää­rä ka­nan­pa­lo­ja, jo­ta ei voi muo­dos­taa os­ta­mal­la so­pi­vas­ti 6, 9 ja 20 ka­nan­pa­lan pak­kauk­sia?
ok_text ♔ Lois­ta­vaa! ♔ hide_expr only_no_yes_on f_nodes 1 43 = tai

Ku­ten var­maan huo­ma­sit, teh­tä­vän ta­voit­tee­na oli saa­da si­nut har­joit­te­le­maan päät­te­lyn ja­ka­mis­ta osiin ja kun­kin osan päät­te­le­mis­tä täs­mäl­li­ses­ti, kaik­ki olen­nai­nen huo­mioon ot­taen. Koet­ko, et­tä päät­te­ly­tai­toa voi opis­kel­la näin? Kan­nat­taa­ko opet­ta­jien laa­tia li­sää tä­män­kal­tai­sia teh­tä­viä? Tuo de­mo­ti­lai­suu­teen pa­pe­ri­lap­pu, jo­hon olet kir­joit­ta­nut ”kyl­lä”, ”ei” tai ”en tie­dä” ja mie­lel­lään myös pik­kui­sen pe­rus­te­lu­ja.