Rationaalilukujen joukko on numeroituva
Tarkastelemme funktiota
f(m, n) =
(m + n)(m + n − 1)
2
− m + 1
missä m ∈ ℤ+ ja n ∈ ℤ+.
Tavoitteemme on ensin saada siihen tuntumaa ja sitten osoittaa, että se saa
peräkkäiset arvot siten kuin alla havainnollistetaan:
4
7
3
4
8
2
2
5
9
1
1
3
6
10
1
2
3
4
Seuraavien kysymysten vastausruuduissa on varattu tilaa välivaiheelle ja
lopputulokselle.
Välivaihetta ei ole pakko kirjoittaa.
Jos kirjoitat sen, laita sen ja lopputuloksen väliin =.
Voit tarkastuttaa välivaiheen MathCheckillä ennen =-merkin ja
lopputuloksen kirjoittamista.
Tämä osoittaa, että f(m, n) tuottaa alun kuvan mukaiset
arvot.
Niinpä kaikki parit (m, n), missä m ∈ ℤ+ ja
n ∈ ℤ+, saadaan jonoon joka alkaa mutta ei pääty.
Jokainen pari on jonossa täsmälleen kerran, nimittäin kohdassa
f(m, n).
Itse asiassa jo alun kuva on riittävä todistus sille,
että ym. parit saadaan jonoon.
Asia vain tuntuu jotenkin vakuuttavammalta, kun mukaan sotketaan lausekkeita
☺.
Sitäpaitsi f:n lausekkeen rakentamistapa on hyödyllinen muissa
yhteyksissä, esimerkiksi kun halutaan tallettaa kaupunkien välisten
etäisyyksien taulukko siten, että kukin etäisyys talletetaan vain yhteen
suuntaan.
Tässä vaiheessa on hyvä täsmentää, mitä matemaatikko tarkoittaa, kun hän
puhuu päättymättömästä jonosta.
Päättymättömän jonon paikat voidaan numeroida positiivisilla kokonaisluvuilla:
paikka 1, paikka 2, paikka 3, ….
Sellaisella luettelolla on alku muttei loppua.
Jokaisen alkion perässä (siis oikealla puolella) on äärettömästi alkioita,
mutta minkään alkion edessä (eli vasemmalla puolella) ei ole äärettömästi
alkioita.
Juuri sellaisen luettelon teimme äsken.
Siinä alkion (m, n) paikka on f(m, n), ja
varmistimme huolellisesti, että eri alkiot saivat eri paikat.
Joukon sanotaan olevan numeroituva, jos ja vain jos sen alkiot
voidaan asettaa päättyvään tai päättymättömään jonoon.
Muut joukot ovat ylinumeroituvia.
Rationaaliluku on luku, joka voidaan esittää murtolukuna eli muodossa
m
n
, missä m ∈ ℤ ja n ∈ ℤ+.
Myös kokonaisluvut ovat rationaalilukuja, koska m =
m
1
(siis esim. 5 =
5
1
).
Jokaisella rationaaliluvulla on äärettömän monta esitystä murtolukuna, koska
m
n
=
2m
2n
=
3m
3n
= ….
Jokainen numeroituva reaalilukujen osajoukko on
nollamitallinen
Tikunpätkiä menee päällekkäin.
Esimerkiksi jos p = 4, niin se tikunpätkä, jolla peitetään
1
2
,
menee koko pituudeltaan päällekkäin ja se tikunpätkä, jolla peitetään
2
1
,
menee osittain päällekkäin sen tikunpätkän kanssa, jolla peitettiin
1
1
.
Jos lukua p pienennetään, päällekkäisyys vähenee, mutta ei kuitenkaan katoa kokonaan.
Vaikka p olisi kuinka pieni positiivinen luku tahansa, jokainen
tikunpätkä peittää muitakin murtolukuja kuin keskikohtansa alle jäävän.
Sitäpaitsi jokainen murtoluku peitetään äärettömän monella tikunpätkällä,
joiden keskikohta on luvun päällä.
Luvun
m
n
peittäjäksi tulee paitsi se tikunpätkä, jonka järjestysnumero on
f(m, n), myös ne, joiden järjestysnumerot ovat
f(2m, 2n), f(3m, 3n), …, koska
m
n
=
2m
2n
=
3m
3n
= ….
Olemme siis peittäneet jokaisen positiivisen rationaaliluvun, vieläpä
äärettömän moneen kertaan, yhdestä tikusta leikatuilla pätkillä.
Tikun pituus p on mielivaltainen positiivinen luku.
Se voi olla 1, 0.1 tai vaikka 0.0000000001.
Lukusuoran nollasta oikealle menevä puolisuora on äärettömän pituinen.
Näyttää ikään kuin olisimme peittäneet sen äärellisen pituisella janalla.
Itse asiassa jana saa olla miten lyhyt tahansa (eli sen pituus p saa
olla miten pieni positiivinen luku tahansa).
Tämä tuntuu järjenvastaiselta.
Ensiksi, on hyvä huomata heti alkuun, että ongelma ei koske todellista
fysikaalista maailmaamme vaan matemaattisten abstraktioiden maailmaa.
Todellista tikkua ei voi puolittaa miten monta kertaa tahansa.
Todellinen tikku ei voi olla lyhyempi kuin esim. atomi.
Toiseksi, lukusuoralla on paljon muitakin lukuja kuin rationaaliluvut.
Itse asiassa lukusuoran luvuista mitättömän pieni osa on rationaalilukuja.
Tämä voidaan todistaa monella eri tavalla.
Juuri läpikäyty todistus osoittaa, että positiivisten rationaalilukujen
yhteensä peittämä pituus on nolla.
Tämä pätee vaikka todistuksessa ei käytetty nollan pituista tikkua, sillä
valitsetpa minkä tahansa reaaliluvun r > 0, saat sen kanssa enintään
yhtäsuuren positiivisen rationaaliluvun q katkaisemalla sen
desimaaliesityksen ensimmäisen nollasta poikkeavan desimaalin jälkeen.
Sen jälkeen valitsemalla
p =
q
2
todistus osoittaa,
että positiivisten rationaalilukujen yhteensä peittämä pituus on vähemmän kuin
r.
Koska se on vähemmän kuin mikä tahansa positiivinen luku (ja koska pituus ei
voi olla negatiivinen), se on nolla.
Sanotaan, että positiivisten rationaalilukujen joukko on
nollamitallinen.
Kolmanneksi, niin omituiselta kuin se tuntuukin, mielivaltaisen pituinen
tikku todella riittää peittämään suoran pisteitä siten, että vaikka jokaista
pistettä ei peitetäkään, jokaisen peitetyn pisteen lähellä on peitetty piste.
Hyvin lähellä.
Valitsetpa minkä tahansa reaaliluvun x ja minkä tahansa positiivisen
luvun r, lukujen x − r ja x + r välillä on
äärettömän monta rationaalilukua.
Esimerkiksi luku y, joka saadaan katkaisemalla x:n
desimaaliesitys k desimaalin jälkeen, on rationaaliluku joka poikkeaa
x:stä enintään 10−k:n verran.
Valitsemalla tarpeeksi suuri k (⌊1 − log r⌋ riittää) saadaan
x − r < y < x + r.
Ihmiskunnalla on ollut vaikeuksia löytää, miten tämä asiakokonaisuus menee
ja hyväksyä, että niin se menee.
Se, että on muitakin lukuja kuin rationaaliluvut, keksittiin antiikin aikana.
Legenda
kertoo, että keksintö järkytti aikalaisia niin pahasti, että he tappoivat
keksijän.
Ylinumeroituvuuden keksijä Georg
Cantor (1845–1918) kohtasi paljon jyrkkää vastustusta muilta
matemaatikoilta.
Elämänsä viimeiset yli 30 vuotta Cantor kärsi toistuvasta masennuksesta.
Nykyisin Cantorin katsotaan olleen oikeassa ja hänen vastustajiensa väärässä,
ja Cantorin tuloksia pidetään erittäin merkittävinä.
Nykyisinkin netin keskustelupalstoilta löytyy sinnikkäitä keskustelijoita
(tai ehkä ei oikeastaan keskustelijoita vaan vänkääjiä), jotka väittävät
kumonneensa ylinumeroituvuuden olemassaolon.
Kaksi muuta tulosta, joita vastaan hyökätään netissä raivoisasti, ovat Gödelin
epätäydellisyyslauseet, joka on modernin logiikan mahdollisesti tärkein
saavutus; sekä pysähtymistesterin olemattomuus, joka on keskeinen
teoreettisessa tietojenkäsittelytieteessä.
Kahden viimeksi mainitun välillä on läheinen yhteys, eivätkä ne ole
ylinumeroituvuudesta tolkuttoman kaukana.
Tällä alalla saavutetuissa tuloksissa ei ole sisäisiä ristiriitaisuuksia,
moni tulos viittaa samaan suuntaan, ja lähes kaikki asiantuntijat hyväksyvät
ne.
Siltä varalta, että olet se nero, joka huomaa mikä siinä kaikessa on vikana ja
keksii paremman teorian, haluan antaa yhden neuvon.
Ennen kuin alat julistaa uutta oppiasi maailmalle, pidä huoli, että tiedät
hyvin, hyvin tarkasti, miten nykyinen oppi menee.
Muuten kukaan asiantuntija ei kuuntele sinua.