Tehtävä:
Propositiologiikan perusoperaattorit

Lyhyt MathCheck-ohje (uuteen välilehteen)

Olkoot käytettävissä operaattorit /\ eli ”ja”, \/ eli ”tai” sekä ! eli ”ei”, sekä seuraavat propositiot:

KOtan kahvia.
TOtan teetä.
MOtan maitoa.
SOtan sokeria.
POtan pullaa.

Kirjoita seuraavat väittämät:

Otan kahvia maidon kanssa.
tai

En ota sokeria.
tai

Otan teetä ilman sokeria.
tai

Otan maitoa tai sokeria.
tai

Otan kahvia tai teetä, mutta en molempia.
tai

En ota teen kanssa pullaa.
tai

Olkoot käytettävissä myös operaattorit --> eli ”jos … niin” sekä <-> eli ”jos ja vain jos”.

Jos otan kahvia, otan myös pullaa.
tai

Jos otan teetä, en ota sokeria.
tai

Otan teetä jos ja vain jos en ota kahvia.
tai

Jos otan kahvia tai teetä, niin otan maitoa tai sokeria.
tai

Jos otan kahvia niin otan sokeria, ja jos otan teetä niin otan maitoa.
tai

Otan maitoa ja sokeria jos ja vain jos otan kahvia.
tai

Tästä eteenpäin halutaan mahdollisimman lyhyt vastaus. Se saattaa olla rakenteeltaan olennaisesti erilainen kuin sanallinen ilmaus, mutta tarkoittaa silti loogisesti samaa. Esimerkiksi ”Otan kahvia ja en ota kahvia” on suoraan kaavaksi käännettynä `K ^^ not K`, mutta se tarkoittaa samaa kuin `sf(F)` eli ”false” eli epätosi. MathCheckissä ”false” ja ”true” kirjoitetaan FF ja TT. Tehtävien jälkeen on pohdintaa, joka saattaa olla avuksi joidenkin kohtien ratkaisemisessa.

Jos en ota maitoa, otan sokeria.
tai

Otan kahvia ja pullaa tai en kumpaakaan.
tai

En ota maitoa enkä sokeria.
tai

Otan pullaa tai en ota pullaa.
tai

Jos otan maitoa, niin en ota maitoa.
tai

Jos otan pullaa, niin otan teetä. Otan pullaa.
tai

Otan pullaa jos ja vain jos kuu on vihreää juustoa.
tai

Otan pullaa jos kuu on vihreää juustoa.
tai

Jos otan pullaa, niin kuu on vihreää juustoa.
tai

Joidenkin on vaikea oppia tai hyväksyä sitä, että jos `X` on aina epätotta, niin `X rarr Y` on totta riippumatta siitä, mitä `Y` on. Esimerkiksi väite ”kuu on vihreää juustoa”`rarr`”Helsinki on Yhdysvaltojen pääkaupunki” on totta, niin järjettömältä kuin se kuulostaakin. Yksi tapa ajatella tätä on, että `X rarr Y` on määritelty tarkoittamaan samaa kuin `not X vv Y`. Jos `X` on aina `sf(F)`, niin `not X` ja `not X vv Y` ovat aina `sf(T)` riippumatta siitä, mikä `Y` on.

Miksi `X rarr Y` on määritelty näin typerästi? Siksi, että sen lähemmäksi luonnollisen kielen ilmausta ”jos … niin” ei yksin­kertaisella määritelmällä voi päästä. Tarkoit­takoon `H` ”olen huoneessani” ja `K` ”olen hakemassa kahvia”. Mitä tarkoitetaan, kun sanotaan ”jos en ole huoneessani, niin olen hakemassa kahvia”? Se tarkoittaa, että olen huoneessani tai olen hakemassa kahvia. (Siinä on ehkä mukana vivahde, että toden­näköisemmin olen huoneessani kuin hakemassa kahvia, mutta sellaisia vivahteita logiikan `rarr` ei yritä esittää.) Siis `not H rarr K` tarkoittaa samaa kuin `H vv K`, mikä täsmää täysin siihen, että `H rarr K` tarkoittaa samaa kuin `not H vv K`.

Toinen tapa ajatella tätä on vastaesimerkkien kautta: väittämä on totta, jos se on hyvin määritelty (toisin kuin esim. `1/0 > 0`) ja sille ei ole vastaesimerkkiä eli tilan­netta, jossa se ei päde. Väittämän `X rarr Y` vasta­esimerkki olisi tilanne, jossa `X` pätee mutta `Y` ei päde. Esimerkiksi `x = -2` on vasta­esimerkki väittämälle `x^2 >= 4 rarr x >= 2`, koska `(-2)^2 >= 4` pätee mutta `-2 >= 2` ei päde. Jos `X` on aina epätotta, niin ei voida löytää tilannetta jossa `X` pätee mutta `Y` ei päde, koska ei voida löytää tilannetta jossa `X` pätee. Silloin vastaesimerkkejä ei ole, joten `X rarr Y` on totta.

Kannattaa siis muistaa, että `X rarr Y` tarkoittaa samaa kuin `not X vv Y`, vaikka siitä seuraisi kummallisen tuntuisia asioita. Ne kummallisen tuntuiset asiat ovat logiikan mukaisia — tietysti sillä varauksella, että päättelyssä ei tehty virhettä. Jos et löytänyt vastausta edellä johonkin kohtaan, niin yritä uudelleen aseistau­tuneena tiedolla `X rarr Y``hArr``not X vv Y`.

Mitkä seuraavista pitävät paikkansa?
Jos kuu on vihreää juustoa, niin minä olen Ranskan keisari Napoleon.
Jos kuu on vihreää juustoa, niin `1=2`.
Jos kuu on vihreää juustoa, niin `1=1`.
Jos kuu on vihreää juustoa, niin `x > 3`.
Jos `x=x+1`, niin `1 < 0`.
Jos `x=x+1`, niin `x > 7`.
Jos `x=x+1`, niin vy$u#sVt7%iewd.
tai

Tämä tehtävä loppuu tähän!