Lyhyt MathCheck-ohje (uuteen välilehteen)
Olkoot käytettävissä operaattorit /\ eli ”ja”, \/ eli ”tai” sekä ! eli ”ei”, sekä seuraavat propositiot:
| K | Otan kahvia. |
| T | Otan teetä. |
| M | Otan maitoa. |
| S | Otan sokeria. |
| P | Otan pullaa. |
Kirjoita seuraavat väittämät:
Olkoot käytettävissä myös operaattorit --> eli ”jos … niin” sekä <-> eli ”jos ja vain jos”.
Tästä eteenpäin halutaan mahdollisimman lyhyt vastaus. Se saattaa olla rakenteeltaan olennaisesti erilainen kuin sanallinen ilmaus, mutta tarkoittaa silti loogisesti samaa. Esimerkiksi ”Otan kahvia ja en ota kahvia” on suoraan kaavaksi käännettynä `K ^^ not K`, mutta se tarkoittaa samaa kuin `sf(F)` eli ”false” eli epätosi. MathCheckissä ”false” ja ”true” kirjoitetaan FF ja TT. Tehtävien jälkeen on pohdintaa, joka saattaa olla avuksi joidenkin kohtien ratkaisemisessa.
Joidenkin on vaikea oppia tai hyväksyä sitä, että jos `X` on aina epätotta, niin `X rarr Y` on totta riippumatta siitä, mitä `Y` on. Esimerkiksi väite ”kuu on vihreää juustoa”`rarr`”Helsinki on Yhdysvaltojen pääkaupunki” on totta, niin järjettömältä kuin se kuulostaakin. Yksi tapa ajatella tätä on, että `X rarr Y` on määritelty tarkoittamaan samaa kuin `not X vv Y`. Jos `X` on aina `sf(F)`, niin `not X` ja `not X vv Y` ovat aina `sf(T)` riippumatta siitä, mikä `Y` on.
Miksi `X rarr Y` on määritelty näin typerästi? Siksi, että sen lähemmäksi luonnollisen kielen ilmausta ”jos … niin” ei yksinkertaisella määritelmällä voi päästä. Tarkoittakoon `H` ”olen huoneessani” ja `K` ”olen hakemassa kahvia”. Mitä tarkoitetaan, kun sanotaan ”jos en ole huoneessani, niin olen hakemassa kahvia”? Se tarkoittaa, että olen huoneessani tai olen hakemassa kahvia. (Siinä on ehkä mukana vivahde, että todennäköisemmin olen huoneessani kuin hakemassa kahvia, mutta sellaisia vivahteita logiikan `rarr` ei yritä esittää.) Siis `not H rarr K` tarkoittaa samaa kuin `H vv K`, mikä täsmää täysin siihen, että `H rarr K` tarkoittaa samaa kuin `not H vv K`.
Toinen tapa ajatella tätä on vastaesimerkkien kautta: väittämä on totta, jos se on hyvin määritelty (toisin kuin esim. `1/0 > 0`) ja sille ei ole vastaesimerkkiä eli tilannetta, jossa se ei päde. Väittämän `X rarr Y` vastaesimerkki olisi tilanne, jossa `X` pätee mutta `Y` ei päde. Esimerkiksi `x = -2` on vastaesimerkki väittämälle `x^2 >= 4 rarr x >= 2`, koska `(-2)^2 >= 4` pätee mutta `-2 >= 2` ei päde. Jos `X` on aina epätotta, niin ei voida löytää tilannetta jossa `X` pätee mutta `Y` ei päde, koska ei voida löytää tilannetta jossa `X` pätee. Silloin vastaesimerkkejä ei ole, joten `X rarr Y` on totta.
Kannattaa siis muistaa, että `X rarr Y` tarkoittaa samaa kuin `not X vv Y`, vaikka siitä seuraisi kummallisen tuntuisia asioita. Ne kummallisen tuntuiset asiat ovat logiikan mukaisia — tietysti sillä varauksella, että päättelyssä ei tehty virhettä. Jos et löytänyt vastausta edellä johonkin kohtaan, niin yritä uudelleen aseistautuneena tiedolla `X rarr Y``hArr``not X vv Y`.
Tämä tehtävä loppuu tähän!