Antti Käenmäen kotisivu

Kompleksianalyysi

Kurssi kompleksianalyysi luennoidaan keväällä 2012 ja kurssilla käsitellään mm. kompleksilukuja ja -tasoa, Möbiuskuvauksia, analyyttisiä kuvauksia sekä kompleksista integrointia, residylaskentaa ja Laurentin sarjoja. Pohjatiedoiksi riittää differentiaalilaskennan ja integraalilaskennan perustiedot. Kurssi kestää 15 viikkoa. Luentoja on yhteensä 60 tuntia - torstaisin ja perjantaisin 10-12 salissa MaD302 12.1.-4.5. (ei kuitenkaan pääsiäisviikolla, eikä viikolla 17). Torstain 3.5. luento on salissa MaD381. Harjoituksia on 30 tuntia - perjantaisin 8-10 ja 12-14 salissa MaD380 20.1.-4.5. (ei pääsiäisviikolla, kurssin toisessa osassa vain aamuryhmä).

Tenttipäiviä on kolme, 21.3., 9.5. ja 23.5. Kurssin voi tenttiä joko kuuden tai kymmenen opintopisteen laajuisena. Ensimmäisenä tenttipäivänä 21.3. ei tosin voi tenttiä kuin kuuden opintopisteen kokonaisuuden, johon siis sisältyy kurssin yhdeksän ensimmäisen viikon asiat eli luennot 9.3. saakka sekä yhdeksät ensimmäiset harjoitukset. Jos kuuden opintopisteen kokonaisuus on jo suoritettu, voi 9.5. ja 23.5. tenteissä suorittaa koko kurssin tenttimällä vain loppuosan eli kuuden viimeisen viikon asiat.

Kurssin sisältö on hyvin lähellä Kilpeläisen kompleksianalyysin kurssimonisteen sisältöä. Monistetta kannattaakin pitää kurssilla oheismateriaalina. Harjoitustehtävät jaetaan perjantain luennolla, jonka jälkeen ne löytyvät MaD-rakennuksen toisen kerroksen aulan lokeroista sekä myös alta. Harjoitustehtävien malliratkaisut tulevat pienellä viiveellä "salakirjaston" MaD382 kansioon.

Lasketuista harjoitustehtävistä saa tenttiin lisäpisteitä. Lisäpisteitä ei tosin lasketa läpipääsyyn. Jos tehtävistä on laskettu vähintään 20 prosenttia, niin saa yhden lisäpisteen. Tästä eteenpäin jokaisen tasakymmenen ylitys tuo yhden lisäpisteen siten, että enimmäislisäpistemäärä ei kuitenkaan ylitä kuutta. Eli maksimilisäpisteet saa laskemalla 70 prosenttia tehtävistä.

Kurssilla käydyt asiat ovat listattu alla.

Torstai 12. tammikuuta
Kompleksiluvut ja -taso: kompleksilukujen kunta, liittoluku, itseisarvo

Perjantai 13. tammikuuta
Kompleksiluvut ja -taso: kolmioepäyhtälö, argumentti, tulon geometrinen tulkinta, de
Moivre'n kaava

Torstai 19. tammikuuta
Kompleksiluvut ja -taso: laajennettu kompleksitaso ja Riemannin pallo

Perjantai 20. tammikuuta
Eksponenttifunktio ja logaritmi: eksponenttifunktio, logaritmi, potenssifunktio

Torstai 26. tammikuuta
Möbiuskuvaukset: alkeismöbiuskuvaukset, ryhmärakenne, matriisiesitys

Perjantai 27. tammikuuta
Möbiuskuvaukset: geometria, kaksoissuhde ja Möbiuskuvausten määrittäminen

Torstai 2. helmikuuta
Analyyttiset kuvaukset: kompleksinen derivaatta, analyyttinen kuvaus, derivaatan perusominaisuudet

Perjantai 3. helmikuuta
Analyyttiset kuvaukset: polynomien analyyttisyys, Cauchy-Riemannin yhtälöt

Torstai 9. helmikuuta
Analyyttiset kuvaukset: derivaatan häviäminen alueessa, harmoninen kuvaus

Perjantai 10. helmikuuta
Kompleksisista potenssisarjoista: sarjateorian peruskäsitteitä, potenssisarja, suppenemissäde

Torstai 16. helmikuuta
Kompleksisista potenssisarjoista: potenssisarjan analyyttisyys, Abelin raja-arvolause, trigonometriset kuvaukset

Perjantai 17. helmikuuta
Kompleksinen integrointi: polku ja tie, integraali kaarenpituuden suhteen, kompleksinen integraali

Torstai 23. helmikuuta
Kompleksinen integrointi: integraalin perusominaisuudet, primitiivi

Perjantai 24. helmikuuta
Cauchyn lause ja kaava: Goursaut'n lause

Torstai 1. maaliskuuta
Cauchyn lause ja kaava: Cauchyn lause, kierrosluku

Perjantai 2. maaliskuuta
Cauchyn lause ja kaava: kierrosluku, Cauchyn integraalikaava, Moreran lause

Torstai 8. maaliskuuta
Cauchyn integraalikaavan sovelluksia: Liouvillen lause, algebran peruslause, polynomeista, poistuva singulariteetti

Perjantai 9. maaliskuuta
Cauchyn integraalikaavan sovelluksia: Taylorin sarja, analyyttisten kuvausten nollakohdat

Torstai 15. maaliskuuta
Cauchyn integraalikaavan sovelluksia: napa, oleellinen singulariteetti, Casorati-Weierstrassin lause

Perjantai 16. maaliskuuta
Cauchyn lauseen yleinen muoto ja residylause: sykli, nollahomologisuus, Cauchyn lauseen ja kaavan yleiset muodot

Torstai 22. maaliskuuta
Cauchyn lauseen yleinen muoto ja residylause: yhdesti yhtenäisyys, Jordanin käyrälause, homotooppisuus

Perjantai 23. maaliskuuta
Cauchyn lauseen yleinen muoto ja residylause: residy, residylause

Torstai 29. maaliskuuta
Argumentin periaate: logaritmin haara, argumentin periaate

Perjantai 30. maaliskuuta
Argumentin periaate: alkukuvien lukumäärä, analyyttisen kuvauksen avoimuus, Rouche'n lause, konformikuvaus

Torstai 12. huhtikuuta
Maksimiperiaate: maksimiperiaate, Schwarzin lemma, Schwarzin lemman yleinen muoto

Perjantai 13. huhtikuuta
Funktiojonot ja Laurentin sarjat: Hurwitzin lause, Laurentin sarja

Torstai 19. huhtikuuta
Funktiojonot ja Laurentin sarjat: analyyttisen kuvauksen Laurentin sarja

Perjantai 20. huhtikuuta
Funktiojonot ja Laurentin sarjat: Arzelà-Ascolin lause, Montelin lause

Antti Käenmäki

Kompleksianalyysi