Teh­tä­vä:
Yh­tä­lö­ryh­miä

Ly­hyt Math­Check-oh­je (uu­teen vä­li­leh­teen)

Yh­tä­lö­ryh­män rat­kai­se­mi­nen

Kah­den muut­tu­jan yh­tä­lö­pa­ri voi­daan rat­kais­ta seu­raa­vas­ti. Tar­kas­te­lem­me esi­merk­ki­nä yh­tä­lö­pa­ria 2x + y = 10 ∧ 5x − 2y = 7.

Sil­lä kum­pi muut­tu­ja ja kum­pi yh­tä­lö alus­sa va­li­taan on vai­ku­tus­ta sii­hen, kuin­ka han­ka­lia lu­ku­ja syn­tyy ja kuin­ka työ­läs­tä ja vir­he­al­tis­ta yh­tä­lö­pa­rin rat­kai­se­mi­nen on. Esi­mer­kin va­lin­noil­la syn­tyi mur­to­lu­ku­ja, mut­ta si­nul­le oli tar­jol­la va­lin­ta, jol­la kaik­ki lu­vut ovat ko­ko­nais­lu­ku­ja.

Ru­tii­nin saa­mi­sek­si rat­kais­taan sa­mal­la ta­val­la vie­lä 12b + 4a = 1 ∧ 2a + 8b = 4.
a b
12b + 4a = 1 2a + 8b = 4

tai
a
tai
b
tai
12b + 4a = 1 ∧ 2a + 8b = 4  ⇔ 
tai

Yl­lä esi­tet­ty ta­pa toi­mii pe­riaat­tees­sa ai­na, mut­ta voi joh­taa han­ka­liin lu­kui­hin, var­sin­kin jos muut­tu­jia ja yh­tä­löi­tä on enem­män kuin kak­si. Sik­si opet­te­lem­me ki­kan: yh­tä­löi­tä voi las­kea yh­teen, vä­hen­tää toi­sis­taan ja ker­toa nol­las­ta poik­kea­val­la va­kiol­la, ja si­ten pois­taa yh­den tai useam­man muut­tu­jan. Esi­mer­kik­si ker­to­mal­la 2a + 8b = 4 kak­ko­sel­la saa­daan 4a + 16b = 8. Kun sii­tä vä­hen­ne­tään 12b + 4a = 1 saa­daan 4b = 7, jos­ta b on help­po rat­kais­ta.

Har­joit­te­lem­me kik­kaa rat­kai­se­mal­la seu­raa­van yh­tä­lö­ryh­män.

6r + 5s − 8t = 7 ∧
2r + 3s + 5t = 6 ∧
3r + 2s − 4t = 5

Jos sen ylim­mäs­tä yh­tä­lös­tä vä­hen­ne­tään kak­si ker­taa alin yh­tä­lö, niin saa­daan (ei tar­vit­se vie­lä sie­ven­tää)

tai

Sie­ven­nä edel­li­nen tu­los. Voit ha­lu­tes­sa­si en­sin ko­pioi­da sen al­le ja li­sä­tä pe­rään <=>.

tai

Si­joi­ta edel­li­sen koh­dan tu­los seu­raa­viin (si­joi­ta lu­ku­ar­vo muut­tu­jan pai­kal­le) ja rat­kai­se r.

Huo­ma­sit­han, et­tä ylim­mäs­tä ja alim­mas­ta tu­li sa­ma lau­se­ke r:lle, mut­ta kes­kim­mäi­ses­tä eri? Se joh­tuu kah­des­ta sei­kas­ta. En­sik­si, ylim­män ja alim­man muo­dos­ta­mi­ses­sa ei mis­sään vai­hees­sa käy­tet­ty kes­kim­mäis­tä al­ku­pe­räis­tä yh­tä­löä, sil­lä si­joi­tet­tu s:n ar­vo −3 saa­tiin vain ylim­män ja alim­man al­ku­pe­räi­sen yh­tä­lön avul­la. Toi­sek­si, kes­kim­mäi­ses­sä al­ku­pe­räi­ses­sä yh­tä­lös­sä on sel­lais­ta in­for­maa­tio­ta muut­tu­jien ar­vois­ta, jo­ta ylim­mäs­sä ja alim­mas­sa al­ku­pe­räi­ses­sä yh­tä­lös­sä ei ole.

Sil­tä va­ral­ta et­tä huk­ka­sit ne, täs­sä ovat
ylin
11 + 4t
3
,
kes­kim­mäi­nen
15 − 5t
2
ja
alin
11 + 4t
3
edel­lä saa­tu r:n lau­se­ke.

Mer­kit­se ylin ja kes­kim­mäi­nen r:n lau­se­ke yh­tä­suu­rik­si ja rat­kai­se t. Vih­jeKä­sit­te­lyä hel­pot­taa, jos ker­rot mo­lem­mat puo­let 6:lla.

tai

Käy­tä jo­ta­kin r:n lau­se­ket­ta lu­ku­ar­von saa­mi­sek­si r:lle, ja kir­joi­ta al­ku­pe­räi­sen yh­tä­lö­ryh­män rat­kai­su.

tai

Saat­taa ol­la, et­tä yh­tä­lö­ryh­mäs­tä voi joh­taa yh­tä­lön va­kio1 = va­kio2, mis­sä va­kio1 ja va­kio2 ovat eri­suu­ret. Sil­loin yh­tä­lö­ryh­mäl­lä ei ole juu­ria. Sa­nom­me, et­tä yh­tä­lö­ryh­mä on ris­ti­rii­tai­nen. Yk­sit­täi­nen­kin yh­tä­lö voi ol­la ris­ti­rii­tai­nen, ku­ten esi­mer­kik­si x + y + 2 − y = x.

Ryh­män x + y + z = 0 ∧ 2x + 2y + 2z = 1 kum­pi­kaan yk­sit­täi­nen yh­tä­lö ei ole ris­ti­rii­tai­nen, mut­ta yh­des­sä ne ovat. An­na sel­lai­set lu­vut a ja b, et­tä kun en­sim­mäi­sen yh­tä­lön ker­too a:lla ja jäl­kim­mäi­sen b:llä ja las­kee tu­lok­set yh­teen, niin tu­lee 0 = 1.
a = b = tai

Saat­taa ol­la, et­tä yh­tä­lö­ryh­män yh­tä­lö sie­ve­nee muo­toon 0 = 0 tai sen voi joh­taa ryh­män muis­ta yh­tä­löis­tä. Sil­loin yh­tä­lö on ryh­män kan­nal­ta tur­ha. Se ei tuo li­sää in­for­maa­tio­ta ryh­mään. Ryh­män juu­ret ei­vät muu­tu, vaik­ka sen pois­tai­si.

Mi­kä seu­raa­van ryh­män yh­tä­löis­tä on tur­ha, ja mi­ten sen voi joh­taa muis­ta?
2x − 6y − z = 3 ∧
z = 7 ∧
x − 1 = 4 + 3y
tai

Täs­sä esi­mer­kis­sä mit­kään kak­si tai kol­me yh­tä­löä ei­vät ole yh­des­sä tur­hat. Ku­kin yh­tä­lö on tur­ha vain yk­si­nään. Se on var­sin ta­val­lis­ta.

Secretsharing 3-point Kaik­ki edel­lä ol­leet yh­tä­löm­me ovat li­neaa­ri­sia, eli yh­tä­lön kum­pi­kin puo­li oli muo­dos­tet­tu yh­teen ja/tai vä­hen­nys­las­kuil­la yh­des­tä tai useam­mas­ta ter­mis­tä, mis­sä ter­mi on va­kio tai va­kio ker­taa muut­tu­ja. Jos muut­tu­jia on kol­me, niin muut­tu­jien ar­vo­yh­dis­tel­mät vas­taa­vat pis­tei­tä kol­me­ulot­tei­ses­sa koor­di­naa­tis­tos­sa. Jos li­säk­si yh­tä­lö­ryh­mä on ris­ti­rii­da­ton ei­kä si­säl­lä tur­hia yh­tä­löi­tä, niin yk­si yh­tä­lö mää­rää ta­son, kak­si yh­tä­löä suo­ran (kah­den ta­son leik­kaus­pis­teet) ja kol­me yh­tä­löä pis­teen (kol­men ta­son leik­kaus­pis­te), ku­ten ohei­nen ku­va (Fred the Oys­ter, via Wi­ki­me­dia Com­mons) ha­vain­nol­lis­taa.

Rat­kai­su­pro­ses­sin esit­tä­mi­nen Math­Checkil­le

Jot­ta voi­sit it­se va­li­ta mil­lä ta­val­la rat­kai­set yh­tä­lö­ryh­män mut­ta voi­sit sil­ti tar­kas­tut­taa las­kel­ma­si Math­Checkil­lä, tar­vi­taan jous­ta­via kei­no­ja il­mais­ta päät­te­lyi­tä Math­Checkil­le.

Tär­kein vä­li­ne on ⇔ eli <=>. Yh­tä­lö­ryh­mä1 ⇔ yh­tä­lö­ryh­mä2 tar­koit­taa, et­tä yh­tä­lö­ryh­män 1 juu­ret ovat sa­mat kuin yh­tä­lö­ryh­män 2 juu­ret. Har­mil­li­ses­ti sen käyt­tö usein edel­lyt­tää, et­tä oi­keal­le puo­lel­le kir­joi­te­taan in­for­maa­tio­ta, jo­ka on vain va­sem­man puo­len tois­toa, mut­ta jo­ta il­man oi­keal­la puo­lel­la oli­si yli­mää­räi­siä juu­ria. Sen ha­vain­nol­lis­ta­mi­sek­si klik­kaa oheis­ta vas­taus­nap­pia ja tul­kit­se pa­lau­te. Sit­ten täy­den­nä oi­keaa puol­ta kun­nes Math­Check hy­väk­syy vas­tauk­sen.


tai

Tä­mä on­gel­ma voi­daan vält­tää käyt­tä­mäl­lä ⇒ eli ==>. Se vaa­tii oi­keal­le puo­lel­le ai­na­kin kaik­ki va­sem­man puo­len juu­ret, mut­ta sal­lii yli­mää­räi­siä. Täy­den­nä niin vä­hän kuin mah­dol­lis­ta kun­nes Math­Check hy­väk­syy vas­tauk­sen.


tai

Kun on saa­tu s = −3, voi­daan päät­te­lyä jat­kaa si­joit­ta­mal­la se en­sim­mäi­seen al­ku­pe­räi­seen yh­tä­löön. Niin saa­daan 6r + 5 ⋅ (−3) − 8t = 7. Tä­tä ei voi il­mais­ta s = −3 ⇒ 6r + 5 ⋅ (−3) − 8t = 7, kos­ka s = −3 ei tuo­ta tä­män oi­keaa puol­ta yk­si­nään vaan yh­des­sä en­sim­mäi­sen al­ku­pe­räi­sen yh­tä­lön kans­sa. Ko­kei­le si­tä al­la en­sin niin et­tä vas­taus­laa­tik­ko on tyh­jä, ja sit­ten niin et­tä vas­taus­laa­ti­kos­sa on en­sim­mäi­nen al­ku­pe­räi­nen yh­tä­lö se­kä /\.

tai

Osaat­ko en­nus­taa, mi­tä ta­pah­tuu, jos yl­lä ole­vaan vas­taus­laa­tik­koon lai­te­taan­kin kes­kim­mäi­nen al­ku­pe­räi­nen yh­tä­lö 2r + 3s + 5t = 6? En­tä jos sin­ne lai­te­taan vii­mei­nen al­ku­pe­räi­nen yh­tä­lö 3r + 2s − 4t = 5? Vih­jeKer­taa edel­tä mi­ten s = −3 joh­det­tiin al­ku­pe­räi­sis­tä yh­tä­löis­tä. Il­miön se­li­tysEn­sim­mäi­nen al­ku­pe­räi­nen yh­tä­lö voi­daan joh­taa vii­mei­ses­tä al­ku­pe­räi­ses­tä yh­tä­lös­tä ja yh­tä­lös­tä s = −3: en­sim­mäi­nen = 2 ⋅ vii­mei­nen + (s = −3). Sik­si va­sen puo­li riit­tää täs­sä ta­pauk­ses­sa mää­rää­mään, mi­tä si­joi­tus tuot­taa.

Kes­kim­mäi­nen al­ku­pe­räi­nen yh­tä­lö si­säl­tää eri tie­toa kuin en­sim­mäi­nen ja vii­mei­nen. Sik­si sii­tä ei voi joh­taa edes yh­des­sä yh­tä­lön s = −3 kans­sa en­sim­mäis­tä yh­tä­löä, ei­kä mi­tä si­joi­tus tuot­taa.

Tä­tä var­ten Math­Check tun­tee il­mauk­sen ori­gi­nal ==>. Sen pe­rään kel­paa mi­kä ta­han­sa, jo­ka seu­raa al­ku­pe­räi­ses­tä yh­tä­lö­ryh­mäs­tä. Si­tä käyt­täen voi­daan vä­li­tu­lok­sen s = −3 joh­ta­mi­sen jäl­keen jat­kaa kä­te­väs­ti vä­li­tu­lok­seen 6r + 5 ⋅ (−3) − 8t = 7. Klik­kaa vas­taus­nap­pia!

tai

Il­maus­ta ori­gi­nal ==> voi­daan käyt­tää min­kä ta­han­sa joh­to­pää­tök­sen esit­tä­mi­seen, jo­ka seu­raa loo­gi­ses­ti al­ku­pe­räi­ses­tä yh­tä­lö­ryh­mäs­tä. Vä­lis­sä ole­via päät­te­ly­as­ke­lia ei tar­vit­se näyt­tää.

Al­la on esi­tet­ty esi­merk­ki­nä käyt­tä­mäm­me yh­tä­lö­ryh­män rat­kai­su var­sin yk­si­tyis­koh­tai­ses­ti. Lue se lä­pi ja var­mis­ta, et­tä ym­mär­rät jo­kai­sen vai­heen. Kun sa­ma yh­tä­lö­ryh­mä rat­kais­tiin edel­lä, koh­dat­tiin mur­to­lu­ku­ja. Huo­maa kik­ka, jol­la nyt väl­te­tään mur­to­lu­vut.

tai

Sit­ten ruk­saa tä­mä . Se ker­too Math­Checkil­le, et­tä et ole te­ke­mäs­sä mi­tä ta­han­sa päät­te­lyä vaan rat­kai­se­mas­sa (epä)yh­tä­löä tai -ryh­mää. Sen seu­rauk­se­na Math­Check tar­kas­taa pait­si et­tä päät­te­ly on oi­kein, myös et­tä vii­mei­nen kaa­va täyt­tää (epä)yh­tä­lö(ryh­män) rat­kai­sul­ta vaa­dit­ta­vat muo­to­sei­kat. Klik­kaa yl­lä ole­vaa vas­taus­nap­pia uu­del­leen.

Pa­lau­te ”Imp­li­ca­tion was used with­out re­tur­ning to the ori­gi­nal” va­roit­taa, et­tä vii­mei­sin kaa­va ei ole ⇔-suh­tees­sa al­ku­pe­räi­seen yh­tä­lö­ryh­mään. Sik­si sil­lä saat­taa ol­la yli­mää­räi­siä, vir­heel­li­siä juu­ria. Kor­jaa ti­lan­ne vaih­ta­mal­la yk­si­nään omas­sa laa­ti­kos­saan ole­van ==>:n ti­lal­le <=> ja klik­kaa vas­taus­nap­pia vie­lä ker­ran.

Laa­jen­na si­tä ruu­tua, jo­hon lai­toit ==>:n ti­lal­le <=>, ja kir­joi­ta sin­ne li­sää niin et­tä Math­Check hy­väk­syy lop­pu­tu­lok­sen.

Sym­bo­lin ⇒ käyt­töön liit­tyy va­li­tet­ta­vas­ti oma on­gel­man­sa. Math­Checkin mu­kaan seu­raa­va lop­pu­tu­los ei ole oi­kein. En­sim­mäi­ses­tä yh­tä­lös­tä vä­hen­net­tiin toi­nen, ja c rat­kais­tiin tu­lok­ses­ta b:n funk­tio­na. Se si­joi­tet­tiin kol­man­teen yh­tä­löön ja rat­kais­tiin a. Toi­seen yh­tä­löön si­joi­tet­tiin c:n ja a:n lau­sek­keet, ja rat­kais­tiin b. Mis­sä vir­he ta­pah­tui? Vih­jeSi­joi­ta alim­mal­la ri­vil­lä ole­va Math­Checkin mie­les­tä vir­heel­li­nen juu­ri al­ku­pe­räi­siin yh­tä­löi­hin. Tar­kas­ta ne päät­te­ly­as­ke­leet, jois­sa käy­tet­tiin nii­tä al­ku­pe­räi­siä yh­tä­löi­tä, jot­ka ei­vät to­teu­du vir­heel­li­sel­lä juu­rel­la. Vas­tausRat­kai­su­pro­ses­sin nä­kö­kul­mas­ta vir­he ta­pah­tui he­ti alus­sa, sil­lä en­sim­mäi­nen yh­tä­lö mii­nus toi­nen yh­tä­lö ei ole 2b − c = 1 vaan 2b + c = 1. Sil­ti kaik­ki muut vai­heet pait­si vii­mei­nen ovat pä­te­viä, ja Math­Check on oi­keas­sa hy­väk­syes­sään ne. Tä­mä joh­tuu sii­tä, et­tä al­ku­pe­räi­nen yh­tä­lö­ryh­mä ei ole to­si mil­lään muut­tu­jien ar­voil­la. Sik­si jo­kai­nen päät­te­ly­as­kel muo­toa ori­gi­nal ==> on pä­te­vä.

tai

Math­Check voi­daan saa­da pal­jas­ta­maan täl­lais­ten vir­hei­den tar­kat pai­kat. Se vaa­tii käyt­tä­jäl­tä hie­man vai­van­nä­köä, mut­ta on vai­van ar­vois­ta, jos vir­he ei muu­ten löy­dy. Se ta­pah­tuu käyt­tä­mäl­lä ori­gi­nal ==> …:n si­jas­ta sub­proof as­su­me --- ; ori­gi­nal <=> … sub­end, mis­sä … on tar­kas­tet­ta­va päät­te­ly ja --- muo­dos­tuu so­pi­vas­ti va­li­tuis­ta al­ku­pe­räi­sis­tä yh­tä­löis­tä. Nä­mä yh­tä­löt voi­daan maa­la­ta ja ko­pioi­da pai­kal­leen, jol­loin nii­hin ei tu­le kir­joi­tus­vir­hei­tä.

Klik­kaa­mal­ta al­ta näet, et­tä nyt vir­he pal­jas­tuu he­ti. Sit­ten vaih­da vir­heel­li­sen -:n pai­kal­le + ja klik­kaa uu­del­leen, näh­däk­se­si et­tä kor­jat­tu päät­te­ly­as­kel kel­paa Math­Checkil­le vaik­ka <=>:n oi­keal­la puo­lel­la on käy­tet­ty vain yh­tä al­ku­pe­räis­tä yh­tä­löä.


tai

As­su­me-osaan pi­tää lait­taa ne al­ku­pe­räi­set yh­tä­löt, joi­ta tar­kas­tet­ta­vas­sa päät­te­lys­sä ei käy­te­tä. Yl­lä ole­vas­sa esi­mer­kis­sä oli tar­koi­tus las­kea en­sim­mäi­nen yh­tä­lö mii­nus toi­nen yh­tä­lö. Kol­mat­ta yh­tä­löä ei käy­tet­ty, jo­ten se tu­lee lait­taa as­su­me-osaan. Li­säk­si as­su­me-osaan tu­lee lait­taa niin mon­ta muu­ta al­ku­pe­räis­tä yh­tä­löä, et­tä sii­nä ja tar­kas­tet­ta­van päät­te­lyn alus­sa on yh­teen­sä yh­tä mon­ta yh­tä­löä kuin al­ku­pe­räi­ses­sä yh­tä­lö­ryh­mäs­sä. Esi­mer­kis­sä oli yk­si yh­tä­lö tar­kas­tet­ta­van päät­te­lyn alus­sa (ni­mit­täin 2b − c = 1 tai 2b + c = 1), jo­ten as­su­me-osaan pi­tää li­sä­tä en­sim­mäi­nen tai toi­nen al­ku­pe­räi­nen yh­tä­lö.

Rat­kais­ta­via yh­tä­lö­ryh­miä

Rat­kai­se seu­raa­vat yh­tä­lö­ryh­mät it­se va­lit­se­mal­la­si kei­nol­la. En­nen kuin hom­ma al­kaa su­jua, kan­nat­taa jo­ka vä­li­vai­hees­sa kli­ka­ta nap­pia pa­laut­teen saa­mi­sek­si he­ti. Jos kai­kil­le muut­tu­jil­le ei saa­da nu­me­ro­ar­voa, il­mai­se aak­kos­jär­jes­tyk­ses­sä mah­dol­li­sim­man ai­kai­sin ole­va muut­tu­ja mui­den funk­tio­na.


tai


tai


tai


tai

Seu­raa­va yh­tä­lö­ryh­mä on Geor­ge Póly­an kuu­lui­sas­ta kir­jas­ta Rat­kai­se­mi­sen tai­to (1945). Ku­ten asia­yh­tey­des­tä voi ar­va­ta, teh­tä­vä on ai­ka help­po kun­han va­lit­see rat­kai­su­ta­van hy­vin, mut­ta mel­koi­sen työ­läs jos va­lit­see rat­kai­su­ta­van huo­nos­ti. Ku­ten asia­yh­tey­des­tä voi ar­va­ta, kaik­kia tar­vit­ta­via tek­ni­siä kik­ko­ja on har­joi­tel­tu edel­lä. Ku­ten asia­yh­tey­des­tä voi ar­va­ta, pal­jon tur­haut­ta­vaa huk­ka­työ­tä jää pois, jos tar­peek­si usein tar­kas­tut­taa Math­Checkil­lä, et­tä sii­hen­as­ti­ses­sa ei ole päät­te­ly­vir­hei­tä.

tai

Koh­ti sa­nal­li­sia yh­tä­lö­pa­re­ja

Nyt har­joit­te­lem­me yh­tä­lö­ryh­män muo­dos­ta­mis­ta sa­nal­li­ses­ta ku­vauk­ses­ta. Mort­ti haa­vei­lee moot­to­ri­pyö­räs­tä. Hä­nel­lä on sääs­tös­sä 1740 €, ja hän saa sääs­tet­tyä 120 € li­sää kuus­sa. Mer­ki­tään tä­män het­ken jäl­keen ku­lu­nei­den kuu­kau­sien mää­rää muut­tu­jal­la k. Kir­joi­ta lau­se­ke, jo­ka esit­tää Mor­tin sääs­tön mää­rän k:n funk­tio­na.
tai

Reet­ta ha­luaa myy­dä moot­to­ri­pyö­rän­sä. Hän pyy­tää nyt 3000 €, mut­ta alen­taa hin­taa 90 eu­rol­la kuus­sa kun­nes os­ta­ja löy­tyy. Esi­tä Ree­tan pyy­tä­mä hin­ta k:n funk­tio­na.
tai

Mer­kit­se ti­lan­ne yh­tä­lö­nä ja rat­kai­se nii­den kuu­kau­sien mää­rä, joi­den ku­lut­tua Mort­ti pys­tyy os­ta­maan moot­to­ri­pyö­rän Ree­tal­ta. Toi­vot­ta­vas­ti osaat muo­dos­taa yh­tä­lön it­se, mut­ta sil­tä va­ral­ta et­tä tar­vit­set apua tai us­kon vah­vis­tus­ta, voit kat­soa sen täs­tä1740 + 120k = 3000 − 90k.
tai

Kuin­ka pal­jon Mort­ti mak­saa moot­to­ri­pyö­räs­tä, jos hän os­taa sen Ree­tal­ta? Vih­jeSi­joi­ta saa­ma­si k:n ar­vo Mor­tin sääs­tön lau­sek­kee­seen tai Ree­tan pyy­tä­män hin­nan lau­sek­kee­seen. Kum­mas­ta­kin tu­lee sa­ma tu­los.
tai

Mor­tin ja Ree­tan esi­merk­ki joh­dat­te­lee mei­tä koh­ti yh­tä­lö­pa­re­ja. Jos mer­kit­sem­me ra­ha­mää­rää r:llä, niin esi­mer­kis­tä saa­daan kak­si yh­tä­löä, jois­sa esiin­ty­vät k ja r. Esi­tä Mor­tin sääs­tö yh­tä­lö­nä.
tai

Esi­tä Ree­tan pyy­tä­mä hin­ta yh­tä­lö­nä.
tai

Näi­den kah­den yh­tä­lön muo­dos­ta­ma pa­ri oli poik­keuk­sel­li­sen help­po rat­kais­ta, kos­ka kum­pi­kin yh­tä­lö oli val­miik­si rat­kais­tu r:n suh­teen. Se tar­koit­taa, et­tä kum­mas­sa­kin niis­tä =-mer­kin yh­del­lä puo­lel­la oli r ei­kä mi­tään muu­ta, ei­kä r esiin­ty­nyt =-mer­kin vas­tak­kai­sel­la puo­lel­la ol­len­kaan. Yh­tä­löt oli­vat siis muo­toa Mor­tin lau­se­ke = r ja Ree­tan lau­se­ke = r. Kos­ka ne mo­lem­mat ovat yh­tä­suu­ret kuin r, ovat ne myös kes­ke­nään yh­tä­suu­ret, jo­ten saa­toim­me kir­joit­taa Mor­tin lau­se­ke = Ree­tan lau­se­ke. Näin saa­dus­sa yh­tä­lös­sä esiin­tyi k mut­ta ei r. Sik­si sii­tä oli mah­dol­lis­ta rat­kais­ta k:n lu­ku­ar­vo. Kun se oli saa­tu, r:n lu­ku­ar­vo saa­tiin si­joit­ta­mal­la k:n lu­ku­ar­vo kum­paan ta­han­sa pa­rin yh­tä­löis­tä.

On­ko yh­tä­lö y = 3x + 5y − 1 val­miik­si rat­kais­tu jon­kin muut­tu­jan suh­teen? Jos on, niin min­kä muut­tu­jan suh­teen? Vas­tausEi ole. Se ei ole rat­kais­tu y:n suh­teen, kos­ka y esiin­tyy myös =-mer­kin oi­keal­la puo­lel­la. Se ei ole rat­kais­tu x:n suh­teen, kos­ka x ei esiin­ny yk­si­nään =-mer­kin kum­mal­la­kaan puo­lel­la.

Myös Jen­ni­fe­ril­lä on moot­to­ri­pyö­rä. Hän ha­luaa kier­tää sil­lä Eu­roop­paa muu­ta­man kuu­kau­den, ja sit­ten myy­dä sen ja pa­la­ta ko­tiin­sa Ka­na­daan. Hän ku­lut­taa Eu­roo­pan kier­tueel­laan 600 eu­roa kuu­kau­des­sa. Hä­nel­lä on va­raa käyt­tää Eu­roo­pan kier­tuee­seen 1620 € se­kä moot­to­ri­pyö­rän myyn­nis­tä saa­ta­vat ra­hat. Kir­joi­ta lau­se­ke, jo­ka esit­tää kuin­ka mon­ta kuu­kaut­ta hän voi kier­tää Eu­roop­paa, jos hän tie­tää saa­van­sa moot­to­ri­pyö­räs­tä r €.
tai

Sel­vi­täm­me, kuin­ka mon­ta kuu­kaut­ta Jen­ni­fer voi kier­tää Eu­roop­paa ja mi­kä moot­to­ri­pyö­rän hin­nak­si tu­lee, jos Mort­ti os­taa sen kai­kil­la sääs­töil­lään sil­lä het­kel­lä, jol­loin ne vii­mei­sen ker­ran riit­tä­vät mak­sa­maan Jen­ni­fe­rin tar­vit­se­man hin­nan. Si­tä var­ten tee juu­ri saa­dus­ta Jen­ni­fe­rin lau­sek­kees­ta yh­tä­lö li­sää­mäl­lä =-merk­ki ja mer­kit­se­mäl­lä kuu­kau­sien mää­rää k:lla. Tu­lok­se­na pi­täi­si syn­tyä yh­tä­lö, jos­sa esiin­ty­vät se­kä r et­tä k.
tai

On­ko tä­mä yh­tä­lö val­miik­si rat­kais­tu jon­kin muut­tu­jan suh­teen? Jos on, niin min­kä muut­tu­jan suh­teen? Vas­tausk

Edel­lä joh­dit lau­sek­keen Mor­tin sääs­tä­mäl­le ra­ha­sum­mal­le. Mer­kit­se­mäl­lä sen tu­los­ta r:llä saa­daan k:n ja r:n yh­tä­lö. Kir­joi­ta tä­mä yh­tä­lö.
tai

On­ko tä­mä yh­tä­lö val­miik­si rat­kais­tu jon­kin muut­tu­jan suh­teen? Jos on, niin min­kä muut­tu­jan suh­teen? Vas­tausr

Saa­tu yh­tä­lö­pa­ri on vai­keam­pi kuin edel­li­nen, kos­ka enää ei ole niin, et­tä kum­pi­kin yh­tä­lö on val­miik­si rat­kais­tu sa­man muut­tu­jan suh­teen. Se on sil­ti hel­pom­pi kuin ylei­nen ta­paus, kos­ka Mor­tin yh­tä­lö on val­miik­si rat­kais­tu jon­kin muut­tu­jan suh­teen, ni­mit­täin ra­ha­mää­rän r. Voim­me si­joit­taa Jen­ni­fe­rin yh­tä­lös­sä r:n pai­kal­le Mor­tin lau­sek­keen, kos­ka se­hän on yh­tä­suu­ri kuin r. Näin Jen­ni­fe­rin yh­tä­lö muun­tuu muo­toon, jos­sa esiin­tyy k mut­ta ei r. Kir­joi­ta tä­mä muo­to. Näp­päi­ly­vai­vo­je­si sääs­tä­mi­sek­si Mor­tin lau­se­ke on an­net­tu val­mii­na.

tai

Rat­kai­se edel­lä saa­tu yh­tä­lö. Yh­tä­löä ei tar­vit­se ko­pioi­da al­le.
tai

Kuin­ka pal­jon Mort­ti mak­saa moot­to­ri­pyö­räs­tä, jos hän os­taa sen Jen­ni­fe­ril­tä?
 € tai

Sa­nal­li­sia yh­tä­lö­ryh­miä

Tur­so on ruo­ka­va­lios­taan tark­ka peik­ko. Hän syö vain pit­saa, jos­ta 40 % on ras­vaa ja 30 % hii­li­hyd­raat­te­ja se­kä jää­te­löä, jos­ta 20 % on ras­vaa ja 60 % hii­li­hyd­raat­te­ja. Mer­kit­sem­me Tur­son syö­män pit­san mää­rää gram­moi­na p:llä ja jää­te­lön mää­rää gram­moi­na j:llä. Kir­joi­ta lau­se­ke, jo­ka esit­tää Tur­son syö­män ras­van mää­rän p:n ja j:n funk­tio­na.
tai

Kir­joi­ta lau­se­ke, jo­ka esit­tää Tur­son syö­mien hii­li­hyd­raat­tien mää­rän p:n ja j:n funk­tio­na.
tai

Tur­so ha­luaa syö­dä päi­vit­täin 450 g ras­vaa ja 630 g hii­li­hyd­raat­te­ja. Kuin­ka pal­jon pit­saa ja jää­te­löä hä­nen pi­tää päi­vit­täin syö­dä? Kir­joi­ta yh­tä­lö­pa­ri ja rat­kai­se se.
tai

Tur­son pi­tää syö­dä  g pit­saa ja  g jää­te­löä.
tai

Al­got toi­mii suun­nit­te­li­ja­na yri­tyk­ses­sä, jo­ka val­mis­taa sor­mus­tie­to­ko­nei­ta. Kos­ka sel­lai­seen mah­tuu vain hy­vin pie­ni ak­ku, on tur­hia las­ken­ta-as­ke­lia väl­tet­tä­vä ener­gian sääs­tä­mi­sek­si. Teo­ria en­nus­taa, et­tä erään al­go­rit­min ajan­ku­lu­tus syöt­teen koon n funk­tio­na on muo­toa an2 + bn + c. Rat­kai­se va­kiot a, b ja c. Al­got mit­ta­si ajan­ku­lu­tuk­sen mil­li­se­kun­tei­na ja sai seu­raa­vat tu­lok­set:

syö­te­ko­ko   2   3   5
ai­ka  16  29  73

tai