Teh­tä­vä:
Sa­nal­li­sia yh­tä­löi­tä

Ly­hyt Math­Check-oh­je (uu­teen vä­li­leh­teen)

Anu ja Bri­ta

Bri­tal­la on 22 opin­to­pis­tet­tä enem­män kuin Anul­la. Yh­teen­sä heil­lä on 168 opin­to­pis­tet­tä. Teh­tä­väm­me on sel­vit­tää, kuin­ka mon­ta opin­to­pis­tet­tä kum­mal­la­kin on.

Mer­kit­sem­me Anun opin­to­pis­te­mää­rää x:llä. Bri­tan opin­to­pis­te­mää­rä x:n avul­la il­mais­tu­na on vih­jeTu­los saa­daan yh­teen­las­ku­na, jon­ka osat ovat Anun opin­to­pis­te­mää­rää esit­tä­vä muut­tu­ja ja se lu­ku, jol­la Bri­tan opin­to­pis­te­mää­rä on Anun opin­to­pis­te­mää­rää suu­rem­pi.
tai

Anun ja Bri­tan opin­to­pis­tei­den yh­teis­mää­rä x:n avul­la il­mais­tu­na on vih­jeAnun opin­to­pis­te­mää­rään li­sä­tään Bri­tan opin­to­pis­te­mää­rä, mis­sä kum­pi­kin esi­te­tään x:n avul­la ku­ten edel­lä.
tai

Nyt meil­lä on opin­to­pis­tei­den yh­teis­mää­räl­le kak­si eri il­maus­ta: juu­ri saa­tu lau­se­ke se­kä alus­sa il­moi­tet­tu lu­ku. Kos­ka ne esit­tä­vät sa­man asian (vaik­ka­kin eri ta­voil­la), ne voi mer­ki­tä yh­tä­suu­rik­si. Al­la on si­tä var­ten lo­ke­rot. Mer­kit­se juu­ri saa­tu lau­se­ke va­sem­mal­le ja al­ku­pe­räi­nen tie­to opin­to­pis­tei­den yh­teis­mää­räs­tä oi­keal­le.
= tai

Näin saa­tu yh­tä­lö on rat­kais­tu al­la vää­rin. Klik­kaa­mal­la vas­taus­nap­pia saat tie­tää, mis­sä vir­he ta­pah­tui. Kor­jaa yh­tä­lön rat­kai­su. Voit kor­ja­ta vai­he ker­ral­laan ja kli­ka­ta vas­taus­nap­pia uu­del­leen niin mon­ta ker­taa kuin ha­luat.
tai

Anun opin­to­pis­te­mää­rä lu­ku­na il­mais­tu­na on ja Bri­tan opin­to­pis­te­mää­rä on . tai

Bri­tal­la on 13 kah­vi­kup­pia vä­hem­män kuin Anul­la. Yh­teen­sä heil­lä on 25 kah­vi­kup­pia. Mer­kit­sem­me Anun kah­vi­kup­pien mää­rää n:llä. Bri­tan kah­vi­kup­pien mää­rä n:n avul­la il­mais­tu­na on vih­jeTu­los saa­daan vä­hen­nys­las­ku­na, jon­ka osat ovat Anun kah­vi­kup­pien mää­rää esit­tä­vä muut­tu­ja ja se lu­ku, jol­la Bri­tan kah­vi­kup­pien mää­rä on Anun kah­vi­kup­pien mää­rää pie­nem­pi.
tai

Kah­vi­kup­pien yh­teis­mää­räl­le saa­daan seu­raa­va yh­tä­lö vih­jeMer­kit­se vas­taus­laa­tik­koon Anun kah­vi­kup­pien mää­rän lau­se­ke + Bri­tan kah­vi­kup­pien mää­rän lau­se­ke, mis­sä mo­lem­mat lau­sek­keet käyt­tä­vät muut­tu­jaa n.:
= 25 tai

Rat­kai­se näin saa­tu yh­tä­lö. Jos käy­tät vä­li­vai­hei­ta, niin kir­joi­ta nii­den vä­liin <=>. Voit ke­hit­tää vas­taus­ta vai­he ker­ral­laan ja kli­ka­ta vas­taus­nap­pia uu­del­leen niin mon­ta ker­taa kuin ha­luat.
tai

Anul­la on kah­vi­kup­pia ja Bri­tal­la on kah­vi­kup­pia.
tai

Anul­la on k kap­pa­let­ta 50 sen­tin ko­li­koi­ta. Bri­tal­la on kol­me ker­taa niin mon­ta ko­lik­koa kuin Anul­la, mut­ta ne ovat vain 20 sen­tin ar­voi­sia. Ko­lik­ko­jen ar­vo on yh­teen­sä 9,90 €.

Bri­tan ko­lik­ko­jen mää­rä k:n funk­tio­na on
tai

Anun ko­lik­ko­jen ar­vo sent­tei­nä k:n funk­tio­na on
tai

Bri­tan ko­lik­ko­jen ar­vo sent­tei­nä k:n funk­tio­na on
tai

Anun ja Bri­tan ko­lik­ko­jen yh­teis­ar­vo sent­tei­nä k:n funk­tio­na on
tai

Mer­kit­se juu­ri saa­tu yh­teis­ar­von lau­se­ke yh­tä­suu­rek­si ko­lik­ko­jen edel­lä il­moi­te­tun yh­teis­ar­von kans­sa, ja rat­kai­se k. Jos käy­tät vä­li­vai­hei­ta, niin kir­joi­ta nii­den vä­liin <=>. Nyt ja jat­kos­sa­kin voit ke­hit­tää vas­taus­ta vai­he ker­ral­laan ja kli­ka­ta vas­taus­nap­pia uu­del­leen niin mon­ta ker­taa kuin ha­luat.
tai

Il­moi­ta seu­raa­vat tie­dot lu­kui­na.
Anun ko­li­koi­den mää­rä on .
Anun ko­li­koi­den ar­vo sent­tei­nä on .
Bri­tan ko­li­koi­den mää­rä on .
Bri­tan ko­li­koi­den ar­vo sent­tei­nä on .
tai

Tar­kas­ta, et­tä ko­lik­ko­jen yh­teis­ar­vo täs­mää aiem­min il­moi­tet­tuun lu­kuun.
täs­mää ei täs­mää en osaa
tai

Mo­po ja au­to

Mo­po läh­tee Jy­väs­ky­läs­tä koh­ti Uts­jo­kea klo 12:00 no­peu­del­la 50 km/h ja au­to läh­tee sa­maa reit­tiä klo 13:30 no­peu­del­la 80 km/h. Las­kem­me, mil­loin ja kuin­ka kau­ka­na Jy­väs­ky­läs­tä au­to saa mo­pon kiin­ni.

Ti­lan­tees­sa on kak­si olen­nais­ta suu­ret­ta: ai­ka ja etäi­syys Jy­väs­ky­läs­tä. Las­ku­jen hel­pot­ta­mi­sek­si ai­ka kan­nat­taa il­moit­taa tun­tei­na mo­pon läh­tö­het­kes­tä al­kaen ja vas­ta lo­puk­si muut­taa se kel­lon­ajak­si. Mer­kit­sem­me näin il­moi­tet­tua ai­kaa muut­tu­jal­la t. Etäi­syyt­tä Jy­väs­ky­läs­tä mer­kit­sem­me x:llä.

Mo­pon läh­tö­het­kel­lä t = ja au­ton läh­tö­het­kel­lä t = .
tai

Au­ton läh­tö­het­kel­lä mo­pon si­jain­nil­le pä­tee x = .
tai

Saa­dak­se­si näp­pi­tun­tu­man mo­pon si­jain­tia ku­vaa­vas­ta yh­tä­lös­tä, täy­tä tau­luk­koon mo­pon si­jain­ti an­net­tui­na ajan­het­ki­nä.

tx
0
tai
1
tai
2
tai
7
tai
1/2
tai

Mo­pon si­jain­ti riip­puu ajas­ta siis yk­sin­ker­tai­ses­ti: kun ai­ka on nol­la myös si­jain­ti on nol­la, ja kun ai­ka kas­vaa yh­del­lä tun­nil­la niin si­jain­ti kas­vaa 50 ki­lo­met­ril­lä. Täy­den­nä yh­tä­lö, jo­ka esit­tää mo­pon si­jain­nin ajan funk­tio­na.
x = tai

Täy­tä tau­luk­koon au­ton si­jain­ti an­net­tui­na ajan­het­ki­nä.

tx
1 1/2
tai
2 1/2
tai
2
tai

Au­ton si­jain­ti ajan funk­tio­na tuot­taa mo­ni­mut­kai­sem­man yh­tä­lön kuin mo­pon ta­paus, kos­ka au­ton läh­tö­het­ki ei ole 0 vaan 3/2. Tä­mä voi­daan ot­taa huo­mioon kah­del­la vaih­to­eh­toi­sel­la ta­val­la. En­sim­mäi­ses­sä ta­vas­sa tar­vi­taan avuk­si lau­se­ke, jo­ka esit­tää au­ton läh­tö­het­ken jäl­keen ku­lu­neen ajan t:n funk­tio­na. Kir­joi­ta sel­lai­nen!
tai

Täy­den­nä yh­tä­lö, jo­ka esit­tää au­ton si­jain­nin ajan funk­tio­na. Yh­tä­lön oi­keal­la puo­lel­la au­ton no­peus ker­ro­taan läh­tö­het­ken jäl­keen ku­lu­neel­la ajal­la. Läh­tö­het­ki 3/2 on al­la kir­joi­tet­tu val­miik­si. Si­nun pi­tää siis täy­den­tää mi­tä oi­keal­le puo­lel­le tu­lee sen eteen ja sen jäl­keen. Jos et useis­ta yri­tyk­sis­tä huo­li­mat­ta on­nis­tu, niin kat­so tä­mäOi­kea yh­tä­lö on x = 80(t − 3/2). Täy­den­nä al­la ole­vat vas­taus­ruu­dut si­ten, et­tä nii­den si­säl­lös­tä ja val­miik­si an­ne­tuis­ta tie­dois­ta tu­lee se..
x = tai

Toi­ses­sa ta­vas­sa sel­vi­te­tään en­sin, mis­sä au­to oli­si ol­lut het­kel­lä t = 0, jos se oli­si liik­ku­nut ko­ko ajan sa­mal­la no­peu­del­la. Kos­ka au­to oli­si ol­lut jos­sa­kin pai­kas­sa en­nen Jy­väs­ky­lää, si­jain­tia ku­vaa­va lu­ku on ne­ga­tii­vi­nen. Kir­joi­ta tä­mä lu­ku. vih­jeKuin­ka kau­ka­na Jy­väs­ky­läs­tä au­to oli 3/2 tun­tia sit­ten, jos se on nyt Jy­väs­ky­läs­sä ja sen no­peus on 80 km/h?
tai

Kos­ka au­ton no­peus on 80 km/h, tä­mä lu­ku kas­vaa 80:llä ai­na kun t kas­vaa 1:llä. Täy­den­nä yh­tä­lö, jo­ka esit­tää au­ton si­jain­nin ajan funk­tio­na. Vas­tauk­sen täy­tyy ol­la päät­te­lym­me tuot­ta­man esi­tys­ta­van mu­kai­nen.
x = tai

Au­ton si­jain­nil­le ajan funk­tio­na on nyt kak­si lau­se­ket­ta. Saat käyt­tää jat­kos­sa kum­paa ta­han­sa.

Meil­lä on siis lau­se­ke mo­pon si­jain­nil­le ajan funk­tio­na ja lau­se­ke au­ton si­jain­nil­le ajan funk­tio­na. Mer­kit­se­mäl­lä ne yh­tä­suu­rik­si saa­daan yh­tä­lö, jon­ka rat­kai­su on ajan­het­ki, jol­loin au­to saa mo­pon kiin­ni. Rat­kai­se tä­mä yh­tä­lö. Jos käy­tät vä­li­vai­hei­ta, niin kir­joi­ta nii­den vä­liin <=>. Jos et useis­ta yri­tyk­sis­tä huo­li­mat­ta on­nis­tu, niin kat­so rat­kai­sun al­ku50t = 80t − 120, kes­ken­eräi­nen rat­kai­su50t = 80t − 120
⇔ 0 = 30t − 120 ja ko­ko rat­kai­su50t = 80t − 120
⇔ 0 = 30t − 120
⇔ 30t = 120
⇔ t = 4.
tai

Au­to saa mo­pon kiin­ni kel­lo :: (tun­nit:mi­nuu­tit:se­kun­nit).
tai

Sil­loin etäi­syys Jy­väs­ky­läs­tä on km.
tai

Ti­lan­tees­ta lau­sek­keek­si, osa 1

Ku­ten edel­tä käy il­mi, sa­nal­li­sen teh­tä­vän rat­kai­se­mi­sek­si on yleen­sä hyö­dyl­lis­tä esit­tää osa an­ne­tuis­ta tie­dois­ta lau­sek­kee­na. Täs­sä osuu­des­sa har­joit­te­lem­me ta­pauk­sia, jois­ta tu­lee lau­se­ke muo­toa

va­kio1 ⋅ muut­tu­ja + va­kio2

Erään au­ton vuok­ra koos­tuu kah­des­ta osas­ta: pe­rus­hin­ta 31 € ja 7 € / tun­ti. Esi­mer­kik­si 2,5 tun­nin vuok­ra on siis 31 € + 2,5 ⋅ 7 €. Täs­sä ta­pauk­ses­sa muut­tu­ja­na on vuok­ra-ai­ka tun­tei­na. Mer­kit­sem­me si­tä kir­jai­mel­la t. Ha­luam­me tie­tää vuok­ra­sum­man eu­roi­na. Se saa­daan lau­sek­kees­ta 7t + 31. Poh­dim­me het­ken, mik­si juu­ri tä­mä lau­se­ke on oi­kein.

Hel­poin ta­pa tes­ta­ta lau­se­ket­ta on ko­keil­la, an­taa­ko se oi­kean tu­lok­sen, jos au­to vuok­rat­tai­siin nol­lak­si tun­nik­si. To­del­li­suu­des­sa­han au­toa ei tie­ten­kään vuok­ra­ta nol­lak­si tun­nik­si, mut­ta tä­mä tes­ti on sil­ti pä­te­vä. Jos au­to vuok­ra­taan nol­lak­si tun­nik­si, niin min­kä ar­von t saa?
t = tai

Jos au­to vuok­ra­taan nol­lak­si tun­nik­si, niin min­kä ar­von lau­se­ke tuot­taa? Ta­voit­tee­nam­me on tar­kas­taa, et­tä lau­sek­keen tuot­ta­ma ar­vo on juu­ri se mi­kä alus­sa an­net­tu­jen tie­to­jen mu­kaan pi­täi­si­kin tul­la. Sik­si on tär­keää, et­tä las­ket ar­von lau­sek­kees­ta, sen si­jaan et­tä päät­te­li­sit sen jol­lain muul­la ta­val­la.
7 ⋅ 0 + 31 = tai

Alus­sa ker­rot­tiin, et­tä pe­rus­hin­ta on 31 € ja li­säk­si tu­lee 7 € / tun­ti. Mi­ten näis­tä tie­dois­ta voi­daan pää­tel­lä vuok­ran suu­ruus, jos vuok­ra-ai­ka on nol­la tun­tia, ja mi­kä vuok­ran suu­ruu­dek­si tu­lee? On­ko se sa­ma kuin edel­lä lau­sek­kees­ta saa­tu lu­ku? Kun olet miet­ti­nyt asian mie­les­sä­si, tar­kas­ta vas­tauk­se­si täs­täJos vuok­ra-ai­ka on nol­la tun­tia, niin mak­set­ta­vak­si tu­lee pelk­kä pe­rus­hin­ta. Se on 31 €. Se on sa­ma kuin edel­lä lau­sek­kees­ta saa­tu lu­ku..

Seu­raa­vak­si tes­taam­me lau­sek­keen kun vuok­ra-ai­ka on 3 tun­tia. Jos au­to vuok­ra­taan kol­mek­si tun­nik­si, niin min­kä ar­von t saa?
t = tai

Min­kä ar­von lau­se­ke tuot­taa, kun vuok­ra-ai­ka on kol­me tun­tia?
7 ⋅ 3 + 31 = tai

Alus­sa ker­rot­tiin, et­tä pe­rus­hin­ta on 31 € ja li­säk­si tu­lee 7 € / tun­ti. Mi­ten näis­tä tie­dois­ta voi­daan pää­tel­lä vuok­ran suu­ruus, jos vuok­ra-ai­ka on kol­me tun­tia, ja mi­kä vuok­ran suu­ruu­dek­si tu­lee? On­ko se sa­ma kuin edel­lä lau­sek­kees­ta saa­tu lu­ku? Kun olet miet­ti­nyt asian mie­les­sä­si, tar­kas­ta vas­tauk­se­si täs­täJos vuok­ra-ai­ka on kol­me tun­tia, niin mak­set­ta­vak­si tu­lee pe­rus­hin­ta 31 € plus kol­me ker­taa tun­ti­hin­ta 7 €. Kol­me tun­ti­hin­taa te­kee 21 €, jo­hon li­sää 31 € te­kee yh­teen­sä 52 €. Se on sa­ma kuin edel­lä lau­sek­kees­ta saa­tu lu­ku..

Nyt tes­taam­me muu­ta­mal­la muul­la vuok­ra-ajal­la. Kir­joi­ta en­sim­mäi­seen ruu­tuun vuok­ra-ai­ka, jol­la ha­luat tes­ta­ta. Kir­joi­ta toi­seen ruu­tuun si­tä vas­taa­va vuok­ran suu­ruus, jon­ka olet it­se las­ke­nut sii­tä, et­tä pe­rus­hin­ta on 31 € ja li­säk­si tu­lee 7 € / tun­ti. Klik­kaa nap­pia ja kat­so an­toi­ko lau­se­ke sa­man tu­lok­sen kuin oma las­ku­si. Ko­kei­le ai­na­kin ajat 1 tun­ti, 4 tun­tia ja 4.5 tun­tia. Ko­kei­le myös −1 tun­ti, vaik­ka se on­kin to­si­maail­mas­sa mah­do­ton vuok­ra-ai­ka.
7 ⋅  + 31 = tai

Muo­toa va­kio1 ⋅ muut­tu­ja + va­kio2 ole­van lau­sek­keen tes­taa­mi­sek­si riit­tää kak­si tes­tiä, jos tes­taa­ja ei tee las­ku­vir­hei­tä. Kos­ka kui­ten­kin las­ku­vir­hei­tä voi ta­pah­tua, kan­nat­taa tes­te­jä teh­dä ai­na­kin kol­me.

Tii­nal­la on 150 €. Kuin­ka mo­nek­si tun­nik­si hän voi vuok­ra­ta au­ton, kun pe­rus­hin­ta on 31 € ja li­säk­si on mak­set­ta­va 7 € / tun­ti? Esi­tä ti­lan­ne yh­tä­lö­nä ja rat­kai­se se, kun t tar­koit­taa tun­tien mää­rää. Muis­tat­han, et­tä voit ke­hit­tää vas­taus­ta vai­he ker­ral­laan. Aloi­ta vaik­ka pel­käs­tään esit­tä­mäl­lä ti­lan­ne yh­tä­lö­nä.
tai

Teh­dään vie­lä kol­me har­joi­tus­ta en­nen uu­sien asioi­den opet­te­le­mis­ta. Tes­taa vas­tauk­se­si kol­mel­la tes­tiar­vol­la en­nen kuin klik­kaat vas­taus­nap­pia. Tee tes­tit pääs­sä­si, ky­näl­lä ja pa­pe­ril­la tai las­ki­mel­la.

Kris­tii­na on kir­joit­ta­nut kan­di­daa­tin tut­kiel­maa 12 si­vua. Hän kir­joit­taa li­sää 3 si­vua päi­väs­sä. Täy­den­nä lau­se­ke, jo­ka ker­too kir­joi­tet­tu­jen si­vu­jen mää­rän tä­män het­ken jäl­keen ku­lu­nei­den päi­vien mää­rän p funk­tio­na.
 ⋅ p + tai

Säi­liön ve­den­pin­ta on 352 mm al­le ta­voi­te­ta­son. Jo­kai­nen li­sät­tä­vä ve­si­lit­ra nos­taa ve­den­pin­taa 17 mm:llä. Ve­den­pin­nan kor­keus il­moi­te­taan mil­li­met­rei­nä ja kor­keus 0 mm tar­koit­taa ta­voi­te­ta­soa. Kir­joi­ta lau­se­ke, jo­ka ker­too ve­den­pin­nan kor­keu­den li­sät­ty­jen ve­si­lit­ro­jen mää­rän v funk­tio­na. vih­jeLau­se­ke on muo­toa lu­ku * v + lu­ku. Ku­ten on ta­val­lis­ta ma­te­ma­tii­kas­sa, ne­ga­tii­vi­sen lu­vun li­sää­mi­sen saa esit­tää vä­hen­nys­las­ku­na.
tai

Ol­lil­la on opin­to­lai­naa jäl­jel­lä 4171 € ja hän ly­hen­tää si­tä 97 € kuu­kau­des­sa. Kir­joi­ta lau­se­ke, jo­ka ker­too jäl­jel­lä ole­van lai­nan mää­rän eu­roi­na tä­män het­ken jäl­keen ku­lu­nei­den kuu­kau­sien mää­rän k funk­tio­na. Voit olet­taa, et­tä k on ko­ko­nais­lu­ku.
tai

Yk­si­köi­den täs­mäy­tys

Yk­sin­ker­tai­nen ja te­ho­kas kei­no vä­hen­tää vir­hei­tä lau­sek­kei­den ja yh­tä­löi­den muo­dos­ta­mi­ses­sa on huo­leh­tia, et­tä yk­si­köt täs­mää­vät. Yh­teen- ja vä­hen­nys­las­kuis­sa mo­lem­mil­la yh­teen- tai vä­hen­nys­las­ket­ta­vil­la pi­tää ol­la sa­ma yk­sik­kö. Ker­to- ja ja­ko­las­kuis­sa yk­si­köi­tä voi sie­ven­tää ku­ten muut­tu­jia. Ver­tai­luis­sa mo­lem­mil­la puo­lil­la pi­tää ol­la sa­ma yk­sik­kö.

Tar­kas­tel­laan esi­merk­ki­nä au­ton vuok­raa v eu­roi­na kun pe­rus­hin­ta on 31 € ja tun­ti­hin­ta on 7 €. Jos t tar­koit­taa ai­kaa tun­tei­na ja tun­nin sym­bo­li on h, niin yk­si­köt nä­ky­viin kir­joi­tet­tu yh­tä­lö on

v = t ⋅ 7 € / h + 31 €

Vuok­ra-ajan 3 h si­joit­ta­mi­nen oi­keal­le puo­lel­le tuot­taa 3 h ⋅ 7 € / h + 31 €. Ker­to­las­kus­sa 3 h ⋅ 7 € / h yk­sik­kö h voi­daan sie­ven­tää pois, jol­loin saa­daan 3 ⋅ 7 € eli 21 €. Se on sa­maa yk­sik­köä kuin 31 €, jo­ten yh­teen­las­ku 21 € + 31 € on sal­lit­tu. Se tuot­taa 52 €. Siis 3 h ⋅ 7 € / h + 31 € = 21 € + 31 € = 52 €. Jot­ta yk­si­köt täs­mäi­si­vät =-mer­kin mo­lem­min puo­lin, pi­tää myös v:n yk­si­kön ol­la €. Ja se­hän on, sil­lä alus­sa sa­not­tiin, et­tä v on vuok­ra eu­roi­na.

Math­Check ei osaa yk­si­köi­tä, mut­ta sil­lä voi­daan teet­tää jon­kin­lai­sia har­joi­tuk­sia vää­rin­käyt­tä­mäl­lä muut­tu­jia yk­si­köi­den ni­mi­nä. Saim­me aiem­min Kris­tii­nan kan­di­daa­tin tut­kiel­man si­vu­jen mää­räl­le lau­sek­keen 3p + 12. Ol­koon si­vun merk­ki s ja päi­vän merk­ki d. Kir­joi­ta lau­sek­keen 3p + 12 osien ja ko­ko lau­sek­keen yk­si­köt.

3
tai
p
tai
12
tai
ko­ko lau­se­ke
tai

Yk­si­köi­den täs­mää­mi­ses­tä huo­leh­ti­mi­nen aut­taa myös kun sa­maa suu­ret­ta esi­te­tään eri yk­si­köil­lä. Jy­väs­ky­läs­tä Sei­nä­joel­le on 194 ki­lo­met­riä. John ha­luaa tie­tää, pal­jon­ko se on mai­lei­na. Yk­si mai­li on li­ki­main 1,609 ki­lo­met­riä eli 1 mi ≈ 1,609 km. Ja­ka­mal­la mo­lem­mat puo­let sym­bo­lil­la mi saa­daan 1 ≈ 1,609 km / mi. Voim­me kul­jet­taa yk­si­köt mu­ka­na las­kus­sa seu­raa­vas­ti:

194 kmyk­kö­sel­lä ja­ka­mi­nen ei muu­ta mi­tään
=194 km / 1 edel­lä to­det­tiin, et­tä 1 ≈ 1,609 km / mi
≈194 km / (1,609 km / mi) lu­kuar­vo­jen ja­ko­las­ku
≈120,6 km / (km / mi)la­ven­ne­taan mi:llä
=120,6 km mi / kmsu­pis­te­taan km pois
=120,6 mi

Jos muun­nos­ker­toi­mel­la 1,609 ker­rot­tai­siin ei­kä jaet­tai­si, niin saa­tai­siin 194 km = 194 km ⋅ 1 ≈ 194 km ⋅ 1,609 km / mi ≈ 312,146 km2 / mi. Sen lop­pu­tu­lok­sen yk­sik­kö ei ole mai­li, jo­ten 312,146 ei ole oi­kea vas­taus Johnil­le.

Ka­na­da­lai­nen Jen­ni­fer odot­taa Heath­rown len­to­ase­mal­la jat­ko­len­toa Suo­meen. Mer­kit­sem­me Ka­na­dan dol­la­ria CAD ja Eng­lan­nin pun­taa GBP. Ham­pu­ri­lai­nen mak­saa 10,90 GBP. Jen­ni­fer miet­tii, pal­jon­ko se on CAD:eis­sa. Hän nä­kee va­luut­ta­kurs­sit 1 € = 0,9124 GBP ja 1 € = 1,5324 CAD. Mi­ten yk­si­köis­tä nä­kee, pi­tää­kö näil­lä muun­nos­ker­toi­mil­la ker­toa vai ja­kaa? vas­tausJa­ka­mal­la yh­tä­lön 1 € = 0,9124 GBP mo­lem­mat puo­let €:lla saa­daan 1 = 0,9124 GBP / €. Jos 10,90 GBP ker­ro­taan täl­lä, niin yk­si­kök­si tu­lee GBP2 / €, mut­ta jos jae­taan, niin yk­si­kök­si tu­lee GBP / (GBP / €) = €. Ham­pu­ri­lai­sen hin­ta on siis 10,90 GBP = 10,90 GBP / (0,9124 GBP / €) = (10,90 / 0,9124) €.

CAD:n kurs­sis­ta tu­lee 1 = 1,5324 CAD / €. Sil­lä ker­to­mal­la saa­daan 10,90 GBP = (10,90 / 0,9124) € = (10,90 / 0,9124) € ⋅ 1,5324 CAD / € = (10,90 / 0,9124) ⋅ 1,5324 CAD.

Mi­kä on ham­pu­ri­lai­sen hin­ta Ka­na­dan dol­la­reis­sa? Il­moi­ta vas­taus kah­del­la de­si­maa­lil­la.
tai

Ti­lan­tees­ta lau­sek­keek­si, osa 2

Lau­sek­keen

va­kio1 ⋅ muut­tu­ja + va­kio2

va­kiot ei­vät ai­na tu­le suo­raan an­ne­tuis­ta tie­dois­ta. Esi­mer­kik­si mo­po ja au­to -osuu­des­sa au­ton si­jain­tia ku­vaa­van lau­sek­keen va­kio2:n ar­vo pi­ti las­kea au­ton no­peu­des­ta 80 km/h ja sii­tä, et­tä au­to läh­ti 3/2 tun­tia myö­hem­min kuin mo­po. Se las­ket­tiin näin: Jos au­to on nyt pai­kas­sa 0 km ja au­ton no­peus on ol­lut 80 km/h, niin mis­sä au­to oli 3/2 h sit­ten?
80 km/h ⋅ (−3/2) h =  km tai

Va­kio2:n ar­vo−120 on siis sen pai­kan si­jain­ti, jos­sa au­to oli­si ol­lut mo­pon läh­tö­het­kel­lä eli klo 12:00, jos au­to ei oli­si läh­te­nyt Jy­väs­ky­läs­tä klo 13:30, vaan oli­si liik­ku­nut ko­ko ajan ja ohit­ta­nut Jy­väs­ky­län klo 13:30.

Tä­mä ta­pa toi­mii lau­sek­keil­le muo­toa va­kio1 ⋅ muut­tu­ja + va­kio2, mut­ta ei vält­tä­mät­tä muun­lai­sil­le lau­sek­keil­le.

Mo­po ja au­to -osuu­des­sa ker­rot­tiin myös vaih­to­eh­toi­nen ta­pa. Se toi­mii kai­ken­muo­toi­sil­le lau­sek­keil­le. Sii­nä lau­se­ke muo­dos­te­taan ku­ten jos läh­tö­ai­ka oli­si 0, mut­ta muut­tu­jan pai­kal­le lai­te­taan lau­se­ke, jo­ka esit­tää au­ton läh­tö­het­ken jäl­keen ku­lu­neen ajan t:n funk­tio­na.

Mo­po ja au­to -esi­mer­kis­sä sel­lai­nen lau­se­ke oli t − 3/2. Si­ten au­ton si­jain­nil­le saa­tiin lau­se­ke 80(t − 3/2) + 0. Va­kio1 = 80 kos­ka au­ton no­peus on 80 km/h, ja va­kio2 = 0 kos­ka au­ton läh­tö­pai­kan etäi­syys Jy­väs­ky­läs­tä on 0 km. Al­la voit si­joit­taa va­sem­mal­le ajan­het­ken ja oi­keal­le au­ton si­jain­nin ja ko­keil­la, täs­mää­vät­kö ne. Ko­kei­le ai­na­kin ajan­het­ket 0, 3/2 ja 4.
80 km/h (  − 3/2) h =  km tai

Ajan­het­keä 0 vas­taa­va si­jain­ti ker­too mis­sä au­to oli­si ol­lut mo­pon läh­tö­het­kel­lä, jos se oli­si liik­ku­nut ko­ko ajan. Tu­los täs­mää aiem­min saa­tuun. Ajan­het­keä 4 vas­taa­va si­jain­ti on si­kä­li mie­len­kiin­toi­nen, et­tä aiem­min las­kim­me, et­tä mo­po on sil­loin pai­kas­sa 200 ja et­tä sil­lä het­kel­lä au­to saa mo­pon kiin­ni. Tä­mä­kin tu­los täs­mää.

Tä­män­het­ki­sen op­pi­mis­ta­voit­teen kan­nal­ta kaik­kein mie­len­kiin­toi­sin on au­ton läh­tö­het­ki eli ajan­het­ki 3/2. Si­joit­ta­mal­la se yl­le saa­daan 80(3/2 − 3/2) = 80 ⋅ 0 = 0. Se tar­koit­taa, et­tä het­kel­lä 3/2 eli klo 13:30 au­to on pai­kas­sa 0 eli Jy­väs­ky­läs­sä. Tär­keä ha­vain­to on tä­mä: lau­sek­keen muo­dos­ta 80(t − 3/2) nä­kee he­ti, et­tä se tuot­taa nol­lan kun t = 3/2, kos­ka sil­loin sii­tä tu­lee jo­tain ⋅ 0.

Jy­väs­ky­läs­tä läh­tee rek­ka Uts­joel­le päin klo 12:20 no­peu­del­la 60 km/h. Kir­joi­ta sen si­jain­tia ku­vaa­va lau­se­ke. Si­jain­ti las­ke­taan Jy­väs­ky­läs­tä ja ai­ka kes­ki­päi­väs­tä ku­ten tä­hän­kin as­ti. Läh­tö­het­ki 12:20 on siis ajan­het­ki 1/3 h. Se on al­la kir­joi­tet­tu val­miik­si. Si­nun pi­tää siis täy­den­tää mi­tä tu­lee sen eteen ja sen jäl­keen. Jos et useis­ta yri­tyk­sis­tä huo­li­mat­ta on­nis­tu, niin kat­so tä­mäOi­kea lau­se­ke on 60(t − 1/3). Täy­den­nä al­la ole­vat vas­taus­ruu­dut si­ten, et­tä nii­den si­säl­lös­tä ja val­miik­si an­ne­tuis­ta tie­dois­ta tu­lee se..
tai

Ker­ro edel­li­sen koh­dan lau­sek­kees­ta su­lut pois ja sie­ven­nä tu­los mah­dol­li­sim­man yk­sin­ker­tai­seen muo­toon.
tai

Vii­ta­saa­res­ta eli 99 km Jy­väs­ky­läs­tä Uts­joel­le päin läh­tee bus­si klo 12:20 no­peu­del­la 60 km/h. Muut tie­dot ovat ku­ten en­nen. Täy­den­nä bus­sin si­jain­tia ku­vaa­va lau­se­ke. vih­jeBus­si on ko­ko ajan 99 km edel­li­sen koh­dan rek­kaa edel­lä.
tai

Sie­ven­nä edel­li­sen koh­dan lau­se­ke mah­dol­li­sim­man yk­sin­ker­tai­seen muo­toon.
tai

Jy­väs­ky­läs­tä Pih­ti­pu­taal­le on 139 km. Sel­vi­täm­me, mil­loin edel­lä mai­nit­tu bus­si on Pih­ti­pu­taal­la. Esi­tä ti­lan­ne yh­tä­lö­nä ja rat­kai­se t.
tai

Kel­lo on sil­loin :: (tun­nit:mi­nuu­tit:se­kun­nit).
tai

Meil­lä on nyt si­jain­tia var­ten lau­se­ke, jo­hon si­joi­te­taan kol­me va­kio­ta:

no­peus ⋅ (t − läh­tö­ai­ka) + läh­tö­paik­ka

Ei kan­na­ta ope­tel­la tä­tä ul­koa, vaan kan­nat­taa teh­dä it­sel­leen sel­väk­si, mik­si se toi­mii. Jo­nain päi­vä­nä teh­tä­vä kä­sit­te­lee­kin jo­tain muu­ta kuin no­peuk­sia ja mat­ko­ja, jol­loin on tär­keää osa­ta muo­dos­taa lau­se­ke sil­loin käy­tet­tä­vil­lä tie­doil­la.

Lau­sek­kei­den ys­tä­vät ry ai­koo jär­jes­tää suk­laa­juh­lat. Sil­lä on edel­lis­ten juh­lien jäl­jil­tä 6 suk­laa­le­vyä. Kau­pas­sa myy­dään suk­laa­ta hin­taan 2 € / le­vy. Yh­dis­tys on kau­pal­le 72 € vel­kaa, ei­kä kaup­pa myy sil­le mi­tään en­nen kuin se mak­saa ve­lan. Yh­dis­tys ke­rää ra­haa r €. Kir­joi­ta lau­se­ke, jo­ka esit­tää suk­laa­le­vy­jen mää­rän r:n funk­tio­na olet­taen, et­tä r riit­tää ve­lan mak­sa­mi­seen ja kaik­ki yli­jää­mä käy­te­tään suk­laan os­ta­mi­seen. Lau­sek­kee­si ei tar­vit­se kä­si­tel­lä jär­ke­väs­ti ti­lan­net­ta, jos­sa suk­laa­le­vy­jen mää­räk­si ei tu­le ko­ko­nais­lu­ku.
tai

Sie­ven­nä edel­li­sen koh­dan lau­se­ke mah­dol­li­sim­man yk­sin­ker­tai­seen muo­toon.
tai

Juh­lia var­ten tar­vi­taan 23 le­vyä suk­laa­ta (jois­ta 6 le­vyä on jo val­miik­si). Saa­dak­se­si sel­vil­le, kuin­ka pal­jon ra­haa pi­tää ke­rä­tä, esi­tä ti­lan­ne yh­tä­lö­nä ja rat­kai­se se.
tai

Py­ry Pyö­räi­li­jä pol­kee Al­ku­las­ta Maa­li­laan ja Roo­sa Reip­pai­li­ja pol­kee sa­man mat­kan toi­sin­päin. Mat­kan pi­tuus on 45 km. He läh­te­vät sa­mal­la het­kel­lä. Py­ry pol­kee ki­lo­met­rin 2 mi­nuu­tis­sa ja Roo­sa 3 mi­nuu­tis­sa. Teh­tä­väm­me on sel­vit­tää mis­sä ja mil­loin he koh­taa­vat. Mer­kit­sem­me mat­kaa Al­ku­las­ta ki­lo­met­rei­nä muut­tu­jal­la x ja ai­kaa läh­tö­het­kes­tä mi­nuut­tei­na muut­tu­jal­la t.

Täy­den­nä yh­tä­lö, jo­ka esit­tää Py­ryn si­jain­nin ku­lu­neen ajan funk­tio­na.
x = tai

Täy­den­nä yh­tä­lö, jo­ka esit­tää ku­lu­nut­ta ai­kaa Py­ryn si­jain­nin funk­tio­na.
t = tai

Täy­den­nä yh­tä­lö, jo­ka esit­tää ku­lu­nut­ta ai­kaa Roo­san si­jain­nin funk­tio­na.
t = tai

Kun he koh­taa­vat, paik­ka on sa­ma ja ai­ka on sa­ma. Tä­mä ta­pah­tuu sel­lai­sil­la x ja t, et­tä mo­lem­mat edel­lä saa­dut yh­tä­löt to­teu­tu­vat. Kos­ka mo­lem­mis­sa yh­tä­löis­sä on sa­ma va­sen puo­li (eli t) ja kos­ka yh­tä­lö tar­koit­taa si­tä, et­tä va­sen ja oi­kea puo­li ovat yh­tä­suu­ret, voim­me pää­tel­lä, et­tä Py­ryn yh­tä­lön oi­kea puo­li = t = Roo­san yh­tä­lön oi­kea puo­li. Sii­tä saa­daan Py­ryn yh­tä­lön oi­kea puo­li = Roo­san yh­tä­lön oi­kea puo­li. Voim­me siis mer­ki­tä edel­lä saa­tu­jen yh­tä­löi­den oi­keat puo­let yh­tä­suu­rik­si. Mi­kä yh­tä­lö saa­daan? Vas­taus2x = 3(45 − x)
Mo­ni muu­kin kel­paa vas­tauk­sek­si, ku­ten:
2x = 135 − 3x
2x = −3(x − 45)

Rat­kai­se saa­tu yh­tä­lö.
tai

Koh­taa­mis­pai­kan etäi­syys Al­ku­las­ta on  km ja Maa­li­las­ta  km. tai

Koh­taa­mis­het­ki voi­daan las­kea si­joit­ta­mal­la koh­taa­mis­paik­ka kum­paan ta­han­sa al­ku­pe­räi­seen yh­tä­löön. Kum­mas­ta­kin pi­täi­si tul­la sa­ma tu­los! Kuin­ka mon­ta mi­nuut­tia on ku­lu­nut läh­tö­het­kes­tä, kun Py­ry ja Roo­sa koh­taa­vat?
tai

Olet pääs­syt hy­vään al­kuun sa­nal­lis­ten yh­tä­lö­teh­tä­vien kä­sit­te­lys­sä!