Teh­tä­vä:
Lu­ku­jo­nois­ta lau­sek­keik­si

Ly­hyt Math­Check-oh­je (uu­teen vä­li­leh­teen)

Täs­sä teh­tä­väs­sä ope­tel­laan tun­nis­ta­maan muu­ta­mia lu­ku­jo­no­ja ja kir­joit­ta­maan lau­sek­kei­ta, jot­ka tuot­ta­vat ne. Sa­mal­la har­joi­tel­laan lu­vun tai lau­sek­keen si­joit­ta­mis­ta funk­tion ar­gu­men­tin pai­kal­le ja tu­lok­sen sie­ven­tä­mis­tä.

Jo­no­ja muo­toa an + b

Al­la on lue­tel­tu funk­tion f(n) = n3 − 3n ar­vot, kun 0 ≤ n ≤ 5.

n01234 5…
f(n)0−2218 52 110…

Tau­lu­kon ylä­ri­vi on kai­kil­la jo­noil­la sa­man kal­tai­nen. Sik­si jo­no il­mais­taan usein pel­kän ala­ri­vin avul­la: 0, −2, 2, 18, 52, 110, …

Jo­nol­le 1, 3, 5, 7, … on help­po kek­siä, et­tä sen tuot­taa f(n) = 2n + 1. Har­joit­te­lem­me tä­tä jo­noa käyt­täen funk­tio­mer­kin­nän käyt­töä ja muut­tu­jan pai­kal­le si­joit­ta­mis­ta. Kir­joi­ta seu­raa­vat lu­vut tai lau­sek­keet. Kir­joi­ta en­sim­mäi­seen ruu­tuun sie­ven­tä­mä­tön vas­taus ja jäl­kim­mäi­seen ruu­tuun mah­dol­li­sim­man ly­hyek­si sie­ven­net­ty lau­se­ke. Jos ker­to­las­kun oi­keal­la puo­lel­la on lu­ku (ei­kä muut­tu­ja tai va­sen sul­ku) niin käy­tä ker­to­merk­ki­nä *, muu­toin käy­tä ker­to­merk­ki­nä tyh­jää.

f(0) = = tai
f(8) = = tai
f(n + 1) = = tai
f(n − 4) = = tai

Edel­lä sait sie­ven­ne­tyn lau­sekk­keen f(n + 1):lle, ja teks­tis­sä oli an­net­tu lau­se­ke f(n):lle. Las­ke sie­ven­tä­mä­tön ja sie­ven­net­ty lau­se­ke näi­den ero­tuk­sel­le. Muis­ta li­sä­tä tar­peel­li­set su­lut.
f(n + 1) − f(n) = =
tai

Al­la on jo­no­ja, joil­le si­nun pi­täi­si kek­siä lau­sek­keet. Yri­tä en­sin il­man apua. Jos et on­nis­tu, niin lue oh­je koh­tien al­ta ja yri­tä uu­del­leen.

       0, 3, 6, 9, 12, … tai
    7, 10, 13, 16, 19, … tai
    ‒8, ‒2, 4, 10, 16, … tai
‒41, ‒28, ‒15, ‒2, 11, … tai
  100, 93, 86, 79, 72, … tai

Huo­maam­me, et­tä muo­toa an + b ole­va jo­no on help­po tun­nis­taa:

  1. b on jo­non en­sim­mäi­nen al­kio, kun al­kiot in­dek­soi­daan nol­las­ta al­kaen.
  2. a on kah­den pe­räk­käi­sen al­kion ero­tus. (Se on täl­lai­sel­le jo­nol­le ai­na sa­ma riip­pu­mat­ta sii­tä, mit­kä pe­räk­käi­set al­kiot va­li­taan.)

Nyt voit yrit­tää yl­lä ole­via koh­tia uu­del­leen, jos et ole jo saa­nut nii­tä teh­tyä.

Mo­lem­mat näis­tä väit­teis­tä on help­po tar­kas­taa seu­raa­vas­ti.

  1. Jo­non en­sim­mäi­nen al­kio on f(0) = a · 0 + b = b.
  2. Saa­dak­se­si kah­den pe­räk­käi­sen al­kion ero­tuk­sen sie­ven­tä­mät­tö­mä­nä, si­joi­ta f(n):n pai­kal­le an + b, tee vas­taa­va si­joi­tus f(n + 1):n pai­kal­le, käy­tä ker­to­merk­ki­nä tyh­jää, ja li­sää tar­peel­li­set su­lut.
    f(n + 1) − f(n) =
    tai

    Ker­to­mal­la su­lut pois ja käyt­tä­mäl­lä kaa­vaa a · 1 = a saa­daan
    tai

    Lop­puun saak­ka sie­ven­net­ty­nä tu­los on
    tai

Jo­no­ja muo­toa an2 + bn + c

Seu­raa­vak­si tar­kas­te­lem­me muo­toa f(n) = an2 + bn + c ole­via jo­no­ja. Las­ke­taan aluk­si f(n) muu­ta­mal­le n:n ar­vol­le. Siis si­joi­ta n:n pai­kal­le su­luis­sa ole­va lu­ku, sie­ven­nä, ja kir­joi­ta tu­los vas­taus­ruu­tuun. Jos ha­luat käyt­tää vä­li­vai­hei­ta, kir­joi­ta jo­kai­sen vä­li­vai­heen pe­rään =. Vas­taus­ruu­tu­ja voi ai­na­kin jois­sa­kin se­lai­mis­sa suu­ren­taa hii­rel­lä.

f(‒2) = tai
f(‒1) = tai
 f(0) = tai
 f(1) = tai
 f(2) = tai

Muo­toa an2 + bn + c ole­van jo­non tun­nis­taa sii­tä, et­tä kah­den pe­räk­käi­sen al­kion ero­tus kas­vaa ai­na sa­mal­la lu­vul­la. Esi­mer­kik­si jos f(n) = n2 + 4n + 1, niin se lu­ku on kak­si:

jo­no 1 613 2233…
ero­tus 5 7  911…
ero­tus­ten ero­tus 2  2 2…

Näh­däk­se­si, et­tä tä­mä pä­tee jo­nol­le f(n) = an2 + bn + c, las­ke en­sin f(n + 1) sie­ven­tä­mät­tö­mä­nä ja sit­ten ker­ro su­lut pois.
f(n + 1)
=
=
tai

Vä­hen­nä lop­pu­tu­lok­ses­ta f(n) ja sie­ven­nä. Voit käyt­tää vä­li­vai­hei­ta ku­ten edel­lä on neu­vot­tu.
f(n + 1) − f(n) =

tai

Jat­kos­sa tar­vi­taan äs­ken joh­ta­maa­si lau­se­ket­ta. Jos et saa­nut si­tä joh­det­tua, voit kur­ka­ta sen täs­tä2an + a + b. Ja kyl­lä si­nä sen voit sii­tä kur­ka­ta, vaik­ka oli­sit­kin saa­nut sen joh­det­tua.

Ero­tus­ten jo­no on siis aiem­paa muo­toa, to­sin kir­jai­mia käy­te­tään ker­toi­mis­sa eri­lail­la. Mil­lä lu­vul­la kah­den pe­räk­käi­sen al­kion ero­tus kas­vaa?
tai

Näis­tä saa­daan kei­no sel­vit­tää ker­toi­met a, b ja c, kun jo­non al­kua tun­ne­taan riit­tä­vän pit­käl­le. tai

Voit vie­lä var­muu­den vuok­si kur­ka­ta täs­tä a = d / 2
c = f(0)
b = f(1) − a − c, mi­ten ker­toi­met saa­daan.

Kir­joi­ta jo­non tuot­ta­va n:n lau­se­ke!

‒2, 4, 16, 34, 58, … tai
    1, 1, 2, 4, 7, … tai

Muun­lai­sia jo­no­ja

Kol­man­nen as­teen po­ly­no­mil­la muo­dos­te­tun jo­non kah­den pe­räk­käi­sen al­kion ero­tus nou­dat­taa toi­sen as­teen po­ly­no­mia. Äs­ken rat­kai­se­ma­si jo­no −2, 4, 16, 34, 58, … on alus­sa esi­merk­ki­nä käy­te­tyn kol­man­nen as­teen jo­non ero­tus­ten jo­no. Vas­taa­vas­ti nel­jän­nen as­teen po­ly­no­mil­la muo­dos­te­tun jo­non kah­den pe­räk­käi­sen al­kion ero­tus nou­dat­taa kol­man­nen as­teen po­ly­no­mia, ja niin edel­leen.

Täs­tä seu­raa, et­tä jos on an­net­tu jo­non k en­sim­mäis­tä al­kio­ta, niin on ole­mas­sa ai­na­kin yk­si enin­tään (k − 1):n as­teen po­ly­no­mi ja ää­ret­tö­män mon­ta enin­tään k:nnen as­teen po­ly­no­mia, jot­ka tuot­ta­vat an­ne­tul­la ta­val­la al­ka­van jo­non. Esi­mer­kik­si jos ha­lu­taan 1, 2, 4, 8, …, niin ero­tuk­set ovat 1, 2, 4, …, ero­tus­ten ero­tuk­set ovat 1, 2, … ja ero­tus­ten ero­tus­ten ero­tuk­set ovat 1, …. Jos vii­mek­si mai­nit­tua jat­ke­taan 1, 1, 1, …, niin ero­tus­ten ero­tuk­set jat­ku­vat 1, 2,  , , …, ero­tuk­set jat­ku­vat 1, 2, 4, , , ja al­ku­pe­räi­nen jo­no jat­kuu 1, 2, 4, 8, , . Tä­mä jo­no saa­daan kol­man­nen as­teen po­ly­no­mil­la
n3 + 5n + 6
6
eli
1
6
n3 + 
5
6
n + 1.

tai

Mil­le ta­han­sa m jo­no saa­daan al­ka­maan 1, 2, 4, 8, m, … kun va­li­taan so­pi­va kor­kein­taan nel­jän­nen as­teen po­ly­no­mi. Ta­pauk­ses­sa m = 16 se on
n4 − 2n3 + 11n2 + 14n + 24
24
.

Täs­tä seu­raa, et­tä jo­noa ei kos­kaan voi tun­nis­taa luo­tet­ta­vas­ti pel­käs­tään jo­non alun pe­rus­teel­la. Toi­si­naan käy­täm­me tun­nis­ta­mis­ta vain kei­no­na saa­da eh­do­kas, jon­ka pä­te­vyys var­mis­te­taan jat­ko­tut­ki­muk­sel­la jo­noa kos­ke­van muun tie­don pe­rus­teel­la. Toi­si­naan voi tur­val­li­ses­ti ar­va­ta, et­tä lau­se­ke on yk­sin­ker­tai­nen tai luon­te­va. Edel­lä ta­pauk­ses­sa m = 16 saa­tu po­ly­no­mi ei si­tä ole. Jos al­ku 1, 2, 4, 8, 16, …, on an­net­tu il­man li­sä­tie­toa, niin se tar­koit­taa to­den­nä­köi­ses­ti jo­noa f(n) = .
tai

Erääs­sä toi­ses­sa teh­tä­väs­sä tar­vi­taan jo­non 0, 9, 99, 999, 9999, … lau­se­ket­ta. Jos li­sääm­me tä­män jo­non jo­kai­seen al­kioon yk­kö­sen, saam­me seu­raa­van jo­non:
, , , , , ….
tai

Tä­män jäl­kim­mäi­sen jo­non lau­se­ke on help­po kek­siä:
tai

Niin­pä jo­non 0, 9, 99, 999, 9999, … lau­se­ke on:
tai

Tä­hän lop­puu täl­lä ker­taa.