Mis­tä lo­gii­kas­sa on ky­se
Teh­tä­viä lu­kuun 3

Täl­lä ker­taa mal­li­vas­taus n mod 7 = 0 on jä­tet­ty nä­ky­viin. Sym­bo­li mod tar­koit­taa ja­ko­jään­nös­tä. Niin­pä n mod 7 = 0 tar­koit­taa et­tä n jaet­tu­na 7:llä tuot­taa ja­ko­jään­nök­sek­si 0, eli et­tä n on jaol­li­nen 7:llä.

Ko­kei­le, mi­tä tu­lee pa­laut­teek­si, jos vas­taat­kin ∃ n: n = 7n tai ∃ a: a = 7a. Mi­ten Math­Check huo­maut­taa, et­tä sa­mas­sa koh­das­sa kaa­vaa kah­del­la eri muut­tu­jal­la on sa­ma ni­mi? Vas­tausNäyt­tä­mäl­lä jäl­kim­mäi­sen niis­tä eri vä­ril­lä.

Min­kä ar­von Math­Check an­toi pa­laut­tees­saan n:lle? Vas­taus0

Mi­ten näil­lä osa­kaa­vo­jen to­tuus­ar­voil­la voi ko­ko kaa­van to­tuus­ar­vok­si tul­la T? Vas­taus”¬”:n täy­tyy vai­kut­taa myös osa­kaa­vaan n > 4, sil­lä muu­toin ”∧ n > 4” te­ki­si ko­ko kaa­van to­tuus­ar­vok­si F. Siis ¬∃ x: n = 7x ∧ n > 4 tar­koit­taa sa­maa kuin ¬(∃ x: n = 7x ∧ n > 4).

Vas­taus­laa­ti­kon kaa­van kor­jaa­mi­sek­si vih­jeLi­sää sul­keet kaa­van al­ku­osan ym­pä­ril­le, jot­ta ”on suu­rem­pi kuin 4” ei oli­si ∃:n alai­suu­des­sa.

Luet­te­le kaa­van ∃ x: (2x − 5z + y = 8 ∧ y ≥ 6x + 4) va­paat ja si­do­tut muut­tu­jat al­la ole­vis­sa laa­ti­kois­sa. Jos vas­tauk­ses­sa­si on vä­hem­män kuin kol­me muut­tu­jaa, jä­tä lo­put laa­ti­kot tyh­jik­si.

Luet­te­le kaa­van (∃ x: 2x − 5z + y = 8) ∧ y ≥ 6x + 4 va­paat ja si­do­tut muut­tu­jat al­la ole­vis­sa laa­ti­kois­sa. Jos vas­tauk­ses­sa­si on vä­hem­män kuin kol­me muut­tu­jaa, jä­tä lo­put laa­ti­kot tyh­jik­si.

Ovat­ko pa­laut­tees­sa an­ne­tut n:n ja m:n ar­vot jaol­li­set seit­se­mäl­lä? Vas­tausOvat.

Mik­si vas­taus­laa­ti­kon kaa­va on pa­laut­teen ar­voil­la epä­to­si? Vih­jeMil­lä x:n ar­voil­la n = 7x on to­si ja mil­lä x:n ar­voil­la m = 7x on to­si? Vas­tausKos­ka n ≠ m, ei ole ole­mas­sa sel­lais­ta x:n ar­voa, et­tä n = 7x ∧ m = 7x on to­si. Al­ku­osa n = 7x on to­si vain kun x on n:n seit­se­mäs­osa, mut­ta sil­loin lop­pu­osa m = 7x ei ole to­si.

Mi­tä al­ku­pe­räi­nen kaa­va ∃ x: n = 7x ∧ m = 7x sa­noo? Vas­tausn ja m ovat yh­tä­suu­ret ja jaol­li­set seit­se­mäl­lä.

Kor­jaa vas­taus­laa­ti­kon kaa­va. Sym­bo­lei­ta div ja mod ei saa käyt­tää.

Mik­si va­sen puo­li on to­si pa­laut­tees­sa an­ne­tuil­la x:n ja y:n ar­voil­la? Vas­tausVa­sem­man puo­len x on si­dot­tu. Se ei ole sa­ma muut­tu­ja kuin pa­laut­teen x. Pa­laut­teen x on oi­kean puo­len x. Va­sen puo­li ei pu­hu mi­tään pa­laut­teen x:stä, vaan sa­noo vain, et­tä on ole­mas­sa lu­ku, jo­ka on suu­rem­pi kuin pa­laut­teen y. Se on tot­ta.

Seu­raa­vis­sa teh­tä­vis­sä P edus­taa mi­tä ta­han­sa kaa­vaa, jos­sa x ei esiin­ny va­paa­na, ja Q(x) edus­taa mi­tä ta­han­sa kaa­vaa. Saat­taa ol­la, et­tä ei ole ly­hyem­pää vas­taus­ta kuin an­net­tu kaa­va it­se.

Vaik­ka Math­Check osaa kä­si­tel­lä kaa­vo­ja, se ei osaa kä­si­tel­lä sym­bo­lei­ta jot­ka edus­ta­vat mie­li­val­tai­sia kaa­vo­ja. Sik­si tar­kas­tuk­ses­sa käy­te­tään pii­lo­tet­tu­ja kaa­vo­ja, jot­ka riip­pu­vat muut­tu­jan q ar­vos­ta si­ten, et­tä kaik­ki tar­kas­tuk­ses­sa tar­vit­ta­vat mah­dol­li­suu­det tu­le­vat tes­ta­tuik­si.

Kir­joi­ta mah­dol­li­sim­man ly­hyet kaa­vat, jot­ka tar­koit­ta­vat sa­maa kuin an­ne­tut kaa­vat, kun P ≡ F.

Kir­joi­ta mah­dol­li­sim­man ly­hyet kaa­vat, jot­ka tar­koit­ta­vat sa­maa kuin an­ne­tut kaa­vat, kun P ≡ T.

Tu­lok­set osoit­ta­vat erään lain pä­te­väk­si. Min­kä? Vas­tausOl­koot P ja Q(x) kaa­vo­ja. Jos x ei esiin­ny va­paa­na P:ssä, niin
∃ x: P ∧ Q(x)  ⇔  P ∧ ∃ x: Q(x)

Kun Math­Checkiä pyy­de­tään tar­kas­ta­maan (epä)yh­tä­lön rat­kai­su, on se var­sin tiuk­ka sen suh­teen, mis­sä muo­dos­sa lop­pu­tu­los il­moi­te­taan. Muu­ta lop­pu muo­toon <=> x = 4-1 = 3 ja ko­kei­le. Pois­ta lo­pus­ta <=> x = 4-1 = 3 ja ko­kei­le.

En­nus­ta, mil­lai­nen pa­lau­te tu­lee, kun ole­tus- ja vas­taus­laa­ti­kos­sa ovat tän­ne pii­lo­te­tutx < 4 ja 2x ≥ 5x − 20 kaa­vat. Sit­ten ko­kei­le. Se­li­tysMath­Check tar­kas­taa vain, et­tä kaa­va on ma­te­maat­ti­ses­ti oi­kein. Jos rat­kai­su­pro­ses­sin kan­nal­ta vir­heel­li­nen kaa­va sat­tu­moi­sin tar­koit­taa sa­maa kuin oi­kea kaa­va, niin Math­Check hy­väk­syy sen. Tie­tys­ti 2x + 1 ≥ 5x − 20 ⇔ x ≤ 7 ja 2x ≥ 5x − 20 ⇔ x ≤ 6,666…. Kos­ka ol­laan ole­tuk­sen x < 4 pii­ris­sä, ne mo­lem­mat tar­koit­ta­vat sa­maa kuin T. Ko­kei­le li­sä­tä vas­taus­laa­ti­kon lop­puun <=> TT !

Rat­kai­sem­me yh­tä­lö­pa­rin 3a + 8b + 1 = 0 ∧ 2a − 2b = 47. Aluk­si ole­tam­me en­sim­mäi­sen yh­tä­lön ja rat­kai­sem­me toi­sen. Ete­ne vas­taus­laa­ti­kon al­la ole­vien oh­jei­den mu­kaan. Vaik­ka mie­luum­min rat­kai­si­sit yh­tä­lö­pa­re­ja muil­la kei­noin, ete­ne täl­lä ker­taa ku­ten al­la käs­ke­tään, jot­ta kä­si­tel­tä­vät asiat tu­li­si­vat tu­tuik­si.

Kir­joi­ta vas­taus­ruu­tuun se, mi­tä saa­daan, kun yh­tä­lön 2a − 2b = 47 mo­lem­mat puo­let ker­ro­taan nel­jäl­lä. Vas­taus8a − 8b = 188 Ko­kei­le, mil­lai­nen pa­lau­te tu­lee.

Lei­ki­tään, et­tä sat­tui­kin las­ku­vir­he. Muu­ta vii­mei­nen lu­ku jok­si­kin muuk­si ja ko­kei­le, mil­lai­nen pa­lau­te tu­lee.

Lei­ki­tään, et­tä juu­ri nyt ei pääs­sä­las­ku hu­vi­ta ei­kä ole las­kin­ta kä­sil­lä. Muu­ta vii­mei­nen lu­ku muo­toon 4*47 ja ko­kei­le.

Nyt ai­vot vir­kis­tyi­vät. Li­sää ri­vin lop­puun = 188 (älä pois­ta = 4*47) ja ko­kei­le.

Kir­joi­ta vas­taus­ruu­dun seu­raa­val­le ri­vil­le <=> ja se, mi­tä saa­daan, kun vas­taus­ruu­dus­sa jo ole­vaan yh­tä­löön li­sä­tään ole­tuk­se­na ole­va yh­tä­lö. Yh­tä­löön li­sä­tään yh­tä­lö si­ten, et­tä va­sem­mal­le puo­lel­le li­sä­tään va­sen puo­li ja oi­keal­le puo­lel­le li­sä­tään oi­kea puo­li. Vih­je 1Va­sem­mal­le puo­lel­le tu­lee (8a − 8b) + (3a + 8b + 1). Si­tä kan­nat­taa sie­ven­tää pääs­sä­las­ku­na en­nen kuin kir­joi­tat sen osak­si vas­taus­ta. Vih­je 2Sit­ten tu­lee = ja oi­kea puo­li. Oi­keal­le puo­lel­le tu­lee 188 + 0. Vas­taus11a + 1 = 188

Sit­ten jat­ka kun­nes a on rat­kais­tu. Ko­kei­le myös vä­li­vai­het­ta, jos­sa 187 / 11 on muo­dos­sa 187 / 11 ei­kä 17.

Täy­den­nä ylem­pään laa­tik­koon sel­lai­nen kaa­va, et­tä Math­Check hy­väk­syy alem­mas­sa laa­ti­kos­sa ole­van päät­te­lyn ko­ko­naan. Kaa­van al­ku ”2x ≥” on kir­joi­tet­tu val­miik­si, ei­kä si­tä voi muut­taa. Vih­je 1Jot­ta P(x) ⇔ T pä­ti­si, pi­tää täy­den­ne­tyn kaa­van ol­la to­si riip­pu­mat­ta x:n ar­vos­ta.

Sit­ten vaih­da se sel­lai­seen kaa­vaan, et­tä Math­Check hy­väk­syy en­sim­mäi­sen ⇔ mut­ta ei jäl­kim­mäis­tä. Vih­je 2Kaa­van P(x) to­tuus­ar­vo voi riip­pua x:n ar­vos­ta, mut­ta kaa­van ∀ x: P(x) ei voi. Vih­je 3 Jot­ta ∀ x: P(x) ⇔ P(x) voi­si pä­teä, ei P(x):n tuot­ta­ma to­tuus­ar­vo saa riip­pua x:n ar­vos­ta.

Lo­puk­si vaih­da se sel­lai­seen kaa­vaan, et­tä Math­Check ei hy­väk­sy en­sim­mäis­tä ⇔.

Teks­tis­sä ke­ho­te­taan ko­kei­le­maan myös seu­raa­via vas­tauk­sia.
∀ i: ∀ j; 1 ≤ i < j ≤ n: A[i] ≤ A[j]
∀ i: ∀ j; 1 ≤ i ≤ j ≤ n: A[i] ≤ A[j]

Kir­joi­ta seu­raa­vat tau­lu­kos­ta A[1…n] pu­hu­vat kaa­vat.

YLEn uu­ti­ses­sa 25.9.2024 ker­rot­tiin, et­tä uu­si te­ko­äly­jär­jes­tel­mä oli rat­kais­sut seu­raa­van teh­tä­vän 30 se­kun­nis­sa:

Prin­ses­sa on yh­tä van­ha kuin prins­si tu­lee ole­maan, kun prin­ses­sa on kak­si ker­taa niin van­ha kuin prins­si oli sil­loin, kun prin­ses­san ikä oli puo­let hei­dän ny­kyi­sen iän sum­mas­ta. Mi­kä on prins­sin ja prin­ses­san ikä? Il­moi­ta kaik­ki rat­kai­sut.

(Uu­ti­ses­sa ei lu­ke­nut ”Il­moi­ta kaik­ki rat­kai­sut”, mut­ta sen läh­teek­si il­moit­ta­mal­laan www-si­vul­la lu­ki.)

Seu­raa­vis­sa koh­dis­sa rat­kai­sem­me sen Math­Checkin avus­tuk­sel­la.

Em­me eh­kä ole vie­lä poi­mi­neet prin­ses­sa­teh­tä­väs­tä kaik­kea tar­vit­ta­vaa, mut­ta voim­me sil­ti ko­keil­la, mi­tä tä­hän­as­ti­sel­la saa ai­kaan. Mi­ten Math­Checkin saa ker­to­maan ti­lan­teen, jos­sa jo poi­mi­mam­me kaa­vat to­teu­tu­vat yh­tä­ai­kaa (jos sel­lai­nen on ole­mas­sa)? Vas­tausJät­tä­mäl­lä mal­li­vas­tauk­sen pois ja aset­ta­mal­la vas­tauk­sek­si kaa­van, jo­ka sa­noo, et­tä jo poi­mi­mam­me kaa­vat ei­vät to­teu­du yh­tä­ai­kaa. Math­Check rea­goi jo­ko ker­to­mal­la, et­tä vas­taus on ai­na to­si, tai an­ta­mal­la esi­mer­kin ti­lan­tees­ta, jos­sa se ei ole to­si. Jäl­kim­mäi­nen on ti­lan­ne, jos­sa ei ole niin, et­tä jo poi­mi­mam­me kaa­vat ei­vät to­teu­du yh­tä­ai­kaa.

Nyt kyt­ke kaa­van en­nak­ko­tar­kas­tus pois pääl­tä. Se pois­taa opet­ta­jan kir­joit­ta­man mal­li­vas­tauk­sen. Ko­kei­le, mi­tä Math­Check an­taa pa­laut­teek­si. Mi­tä pa­lau­te tar­koit­taa? Vas­tausKaik­ki prin­ses­sa­teh­tä­väs­tä jo poi­mi­mam­me kaa­vat to­teu­tu­vat, jos se­kä prin­ses­san et­tä prins­sin ikä se­kä ny­kyi­sin et­tä kaik­ki­na mui­na teh­tä­väs­sä mai­nit­tui­na ajan­koh­ti­na on nol­la.

Kos­ka ei ole var­maa, et­tä oli­sim­me poi­mi­neet prin­ses­sa­teh­tä­väs­tä kai­ken olen­nai­sen in­for­maa­tion, on täy­sin mah­dol­lis­ta, et­tä Math­Checkin pa­laut­teen mu­kai­nen ti­lan­ne ei ole prin­ses­sa­teh­tä­vän rat­kai­su. Sik­si kan­nat­taa tar­kas­taa, to­teu­tuu­ko prin­ses­sa­teh­tä­vän väit­tä­mä pa­laut­teen mu­kai­ses­sa ti­lan­tees­sa. To­teu­tuu­ko? Vas­tausKyl­lä. Jos jo­kai­nen prin­ses­sa­teh­tä­väs­sä mai­nit­tu ikä on nol­la, niin ”yh­tä van­ha kuin”, ”kak­si ker­taa niin van­ha kuin” ja ”puo­let sum­mas­ta” to­teu­tu­vat.

Te­ko­älyn an­ta­ma vas­taus ei ol­lut, et­tä kaik­ki iät ovat nol­lia. Math­Checkin an­ta­ma pa­lau­te ei sil­ti ol­lut vää­rin. Mi­ten tä­mä on mah­dol­lis­ta? Vih­jeMi­kä te­ko­älyl­le an­ne­tus­sa teh­tä­väs­sä mu­ka­na ol­lut asia puut­tui YLEn uu­ti­ses­tä? Vas­tausOn mui­ta­kin ti­lan­tei­ta, jois­sa jo poi­mi­tut kaa­vat to­teu­tu­vat, kuin et­tä kaik­ki iät ovat nol­lia.

Kos­ka Math­Checkil­lä on lu­pa an­taa pa­laut­teek­si mi­kä ta­han­sa ti­lan­ne, jos­sa ole­tuk­set to­teu­tu­vat mut­ta vas­taus­ruu­dun kaa­va ei, se saat­taa an­taa sel­lai­sen, jo­ta on vai­kea poh­tia. Mut­ta on ole­mas­sa kei­no pa­kot­taa Math­Check an­ta­maan help­po­ta­jui­sem­pi pa­lau­te: kiel­le­tään mur­to­lu­vut ja ne­ga­tii­vi­set lu­vut. Jos sen jäl­keen löy­tyy rat­kai­su­ja, niin poh­dim­me nii­tä. Jol­lei löy­dy, niin to­team­me, et­tä tä­mä kei­no ei toi­mi­nut­kaan, ja ko­kei­lem­me jo­ta­kin muu­ta.

Täy­tä iät Math­Checkil­tä saa­dun pa­laut­teen pe­rus­teel­la! ”Kun” viit­taa toi­seen ja ”sil­loin” kol­man­teen teh­tä­väs­sä mai­nit­tuun ajan­koh­taan.

On­ko tu­lok­sis­sa jo­tain ou­toa? Vas­tausPrin­ses­sa ja prins­si van­he­ne­vat eri tah­tiin. Ny­ky­het­kes­tä het­keen ”kun” siir­ryt­täes­sä prin­ses­sa nuor­tuu vuo­den ja prins­sin ikä ei muu­tu lain­kaan. Sii­tä het­keen ”sil­loin” siir­ryt­täes­sä prin­ses­sa van­he­nee vuo­den ja prins­si nuor­tuu vuo­den.

Nyt meil­lä on ai­kai­sem­paa pa­rem­pi kaa­va tuot­ta­maan prin­ses­sa­teh­tä­väl­le rat­kai­su­yri­tyk­siä. Kyt­ke kaa­van en­nak­ko­tar­kas­tus pois pääl­tä ja ko­kei­le, mi­tä Math­Check an­taa pa­laut­teek­si. On­ko se oi­kein? Vas­tausNyt­kin pa­lau­te ker­too, et­tä kaik­ki prin­ses­sa­teh­tä­väs­tä poi­mi­mam­me kaa­vat to­teu­tu­vat, jos se­kä prin­ses­san et­tä prins­sin ikä se­kä ny­kyi­sin et­tä kaik­ki­na mui­na teh­tä­väs­sä mai­nit­tui­na ajan­koh­ti­na on nol­la. Ku­ten edel­lä to­det­tiin, se on oi­kein.

Mik­si saa­dus­sa pa­laut­tees­sa prin­ses­san ny­kyi­nen ikä on 5? Vas­tausPa­lau­te ker­too jon­kin ti­lan­teen, jos­sa ko­ko kaa­va ei ole to­si. Kos­ka kaa­van lo­pus­sa lu­kee ”∨ x ≠ 5”, voi kaa­va ol­la epä­to­si vain jos x = 5. Sii­nä ta­pauk­ses­sa prin­ses­san ny­kyi­nen ikä on 5, kos­ka x tar­koit­taa prin­ses­san ny­kyis­tä ikää.

Pa­laut­tees­sa on kaik­kien kuu­den muut­tu­jan ar­vot, mut­ta tar­vit­sem­me vain kah­den: prin­ses­san ja prins­sin ny­kyi­set iät. Mui­den muut­tu­jien ar­vot vain hait­taa­vat pa­laut­teen lu­ke­mis­ta. Mi­ten ne saa es­tet­tyä tu­le­mas­ta pa­laut­tee­seen? Vih­jeOlem­me kvant­to­rei­ta kä­sit­te­le­väs­sä lu­vus­sa. Vas­tausLi­sä­tään al­kuun AA a:, ja sa­moin jo­kai­sel­le muul­le tar­peet­to­mal­le muut­tu­jal­le.

Jäl­jel­lä on enää sen tar­kas­ta­mi­nen, et­tä ha­vait­se­ma­si riip­pu­vuus esit­tää vain prin­ses­sa­teh­tä­vän rat­kai­su­ja ja esit­tää ne kaik­ki. Jos prin­ses­sa­teh­tä­väs­sä ky­syt­täi­siin kaik­ki iät, niin riit­täi­si tar­kas­taa, et­tä ha­vait­se­ma­si riip­pu­vuus on yh­tä­pi­tä­vä prin­ses­sa­teh­tä­vää esit­tä­vän kaa­van kans­sa. Se on muu­ten sa­ma kaa­va kuin se jo­ka väit­tää et­tä prin­ses­sa­teh­tä­väl­lä ei ole rat­kai­sua, mut­ta il­man edes­sä ole­vaa ”¬”. Se on al­la val­mii­na.

Mut­ta prin­ses­sa­teh­tä­väs­sä ky­sy­tään vain ny­kyi­set iät. Mi­ten tä­män voi ot­taa huo­mioon täy­den­tä­mäl­lä prin­ses­sa­teh­tä­vää esit­tä­vää kaa­vaa? Vih­je 1Olem­me kvant­to­rei­ta kä­sit­te­le­väs­sä lu­vus­sa. Vih­je 2Pi­tää­kö yh­tä­pi­tä­vyy­den to­teu­tua pii­lo­tet­ta­vien muut­tu­jien kai­kil­la ar­voil­la? Vih­je 3Kos­ka kaa­vas­sa on mu­ka­na x = b, on kaa­van to­teu­tues­sa b:llä sa­ma ar­vo kuin x:llä. Jo­tain sa­man kal­tais­ta pä­tee mui­den­kin pii­lo­tet­ta­vien muut­tu­jien ar­voil­le. Vas­tausLi­sä­tään al­kuun EE a:, ja sa­moin jo­kai­sel­le muul­le pii­lo­tet­ta­val­le muut­tu­jal­le.

Edel­lä mai­ni­tun uu­ti­sen mu­kaan:

Esit­te­ly­vi­deol­la [te­ko­äly] työs­tää vas­taus­ta 30 se­kun­tia en­nen kuin se an­taa vas­tauk­sek­si, et­tä prin­ses­san ikä on 4/3 prins­sin iäs­tä. Eli jos prins­si on esi­mer­kik­si 12-vuo­tias, niin prin­ses­sa on 16-vuo­tias.