Mis­tä lo­gii­kas­sa on ky­se
Teh­tä­viä lu­kuun 2

Hy­vin ly­hyt oi­kea vas­taus3 ≤ n ≤ 8

”Pois­sul­ke­va tai” tar­koit­taa, et­tä lop­pu­tu­los on to­si täs­mäl­leen sil­loin kun toi­nen tai toi­nen mut­ta ei mo­lem­mat puo­let on to­si. ”Si­säl­lyt­tä­vä tai” tar­koit­taa, et­tä lop­pu­tu­los on to­si täs­mäl­leen sil­loin kun toi­nen tai toi­nen tai mo­lem­mat puo­let on to­si.

Otam­me käyt­töön seu­raa­vat pro­po­si­tio­muut­tu­jat:

Kir­joi­ta seu­raa­vat väit­tä­mät kaa­voi­na.

Kir­joi­ta seu­raa­vat väit­tä­mät mah­dol­li­sim­man ly­hyi­nä kaa­voi­na. Saat­taa ol­la tar­peen käyt­tää sul­kei­ta ”(” ja ”)”. Osaan väit­tä­mis­tä on li­sät­ty tar­ken­nus ko­ros­ta­maan, et­tä ”tai” tul­ki­taan ku­ten lo­gii­kas­sa eli si­säl­lyt­tä­vä­nä ei­kä pois­sul­ke­va­na.

Kir­joi­ta seu­raa­vat väit­tä­mät mah­dol­li­sim­man ly­hyi­nä kaa­voi­na. Suo­ra kään­nös sa­nal­li­ses­ta il­mauk­ses­ta ei vält­tä­mät­tä tuo­ta mah­dol­li­sim­man ly­hyt­tä kaa­vaa, jo­ten saat­taa ol­la tar­peen il­mais­ta väit­tä­mä jol­lain toi­sel­la mut­ta sa­maa tar­koit­ta­val­la ta­val­la. Nyt­kin ”tai” tul­ki­taan ku­ten lo­gii­kas­sa eli si­säl­lyt­tä­vä­nä ei­kä pois­sul­ke­va­na.

En­sim­mäi­ses­sä vas­taus­ruu­dus­sa on val­mii­na kaa­va, jo­ka on muu­ten oi­kea, mut­ta ei ole mah­dol­li­sim­man ly­hyt. Ko­kei­le en­sin, min­kä­lai­nen pa­lau­te sil­lä tu­lee. Sit­ten älä pyy­hi si­tä pois, vaan li­sää sen pe­rään <=> ja oma vas­tauk­se­si. Niin toi­mi­mi­ses­ta on se hyö­ty, et­tä muu­ten oi­kea mut­ta ei tar­peek­si ly­hyt kaa­va jää nä­ky­viin. Se voi ol­la avuk­si ly­hyem­män, sa­maa tar­koit­ta­van kaa­van kek­si­mi­ses­sä.

Ku­ten var­maan huo­ma­sit, täl­lä ker­taa mal­li­vas­taus x = |a| on jä­tet­ty pa­laut­tees­sa nä­ky­viin.

Mik­si sa­maa tar­koit­ta­vat kaa­vat lak­ka­si­vat tar­koit­ta­mas­ta sa­maa, kun kum­paa­kin jat­ket­tiin sa­mal­la ta­val­la? Vas­taus”∧” las­ke­taan en­nen kuin ”∨”. Sik­si va­sem­mal­la puo­lel­la jat­ko vai­kut­ti ko­ko kaa­vaan, mut­ta oi­keal­la puo­lel­la vain osuu­teen i = 3. Kaa­vo­ja ei siis kaa­voik­si aja­tel­tui­na täy­den­net­ty sa­mal­la ta­val­la, vaik­ka merk­ki­jo­no­jen ta­sol­la nii­tä jat­ket­tiin­kin sa­mal­la ta­val­la.

Täy­den­nä oi­kean­puo­leis­ta kaa­vaa si­ten, et­tä se tar­koit­taa sa­maa kuin va­sem­man­puo­lei­nen kaa­va, kun ”∧ i ≠ 8” on mo­lem­mis­sa mu­ka­na. Vih­jeLi­sää sul­keet so­pi­viin koh­tiin.

Sie­ven­nä kaa­vat mah­dol­li­sim­man yk­sin­ker­tai­seen muo­toon! Huo­maa, et­tä T ja T tar­koit­ta­vat eri asioi­ta. Sym­bo­li T tar­koit­taa jo­ta­kin väit­tä­mää ku­ten ”hän ot­taa tee­tä”. Se voi ti­lan­tees­ta riip­puen ol­la to­si tai epä­to­si. Sen si­jaan T eli TT tar­koit­taa ai­na ”to­si”.

Kum­mas­ta­kin tau­lu­kos­ta va­lit­se ne ruu­dut, joi­ta vas­taa­va mai­don ja so­ke­rin yh­dis­tel­mä on mah­dol­li­nen, kun tau­lu­kon ylä­puo­lel­la ole­va väi­te pi­tää paik­kan­sa.

Pa­laam­me sii­hen, mi­ten voi­daan löy­tää mah­dol­li­sim­man ly­hyt kaa­va, jo­ka sa­noo, et­tä hän ot­taa so­ke­ria vain kah­vin kans­sa jos sil­loin­kaan. Nyt hyö­dyn­näm­me De Mor­ga­nin la­kia. Si­tä var­ten esi­täm­me väit­teen en­sin muo­dos­sa ¬vastoin, mis­sä vastoin ei it­se ole muo­toa ¬jotakin. Siis vastoin ei ala ”ei”:llä, mut­ta sil­ti il­mai­see ne ti­lan­teet, jois­sa ei to­teu­du, et­tä hän ot­taa so­ke­ria vain kah­vin kans­sa jos sil­loin­kaan. Il­mai­se vastoin luon­nol­li­sel­la kie­lel­lä! Vas­tausHän ot­taa so­ke­ria il­man kah­via.

Sie­ven­nä an­ne­tut kaa­vat an­ne­tuil­la ole­tuk­sil­la. Voit kir­joit­taa usei­ta vä­li­vai­hei­ta kir­joit­ta­mal­la nii­den vä­liin ⇔.

Kos­ka lop­pu­tu­lok­set ovat sa­mat, pä­tee ¬(P ∧ Q) ⇔ ¬P ∨ ¬Q ai­na­kin sil­loin kun P on epä­to­si.

Kos­ka lop­pu­tu­lok­set ovat sa­mat, pä­tee ¬(P ∧ Q) ⇔ ¬P ∨ ¬Q myös sil­loin kun P on to­si.

Siis ¬(P ∧ Q) ⇔ ¬P ∨ ¬Q pä­tee se­kä sil­loin kun P on epä­to­si et­tä sil­loin kun P on to­si. Niin­pä ¬(P ∧ Q) ⇔ ¬P ∨ ¬Q pä­tee ai­na, jo­ten se on lo­gii­kan la­ki.

Ko­kei­le si­joit­ta­mal­la P:hen vuo­ron pe­rään F ja T, on­ko yh­tä­pi­tä­vyys P ∨ (Q ∧ R) ⇔ (P ∨ Q) ∧ (P ∨ R) pä­te­vä. Voit kir­joit­taa usei­ta vä­li­vai­hei­ta kir­joit­ta­mal­la nii­den vä­liin ⇔.