Todennäköisyysteoria 3 (MATS263, 5 op)
Syksy 2013
Kurssi luennoidaan suomeksi.
Kurssisivu ja ilmoittautuminen Korpissa:
https://korppi.jyu.fi/kotka/r.jsp?course=156329.
Sisältö
Satunnaisjonon suppeneminen jakaumaltaan. Todennäköisyysmittojen heikko
suppeneminen. Satunnaismuuttujan karakteristinen funktio.
Todennäköisyysmittojen konvoluutio. Keskeinen raja-arvolause.
Aikataulu
Luennot 28 h alkaen tiistaina 10.9.2013 klo 12.15 salissa MaD302
Tiistaisin klo 12.15 salissa MaD302 ja keskiviikkoisin klo 10.15 salissa
MaD380
Harjoitukset 14 h alkaen tiistaina 17.9.2013 klo 16.15 salissa MaD381
Tiistaisin klo 16.00 salissa MaD381
[Huom: Viimeiset harjoitukset maanantaina 28.10. klo 14.15 salissa
MaD302]
Tentti keskiviikkona 30.10.2013, uusintamahdollisuus keskiviikkona
20.11.2013
Luentojen aiheet
- 10.9.2013:
Satunnaisjonon suppeneminen melkein varmasti, stokastisesti ja Lp-normin
suhteen sekä näiden väliset yhteydet. Satunnaismuuttujan jakauma.
- 11.9.2013:
Satunnaismuuttujan jakauman hajotelma absoluuttisesti jatkuvaan,
diskreettiin ja jatkuvaan singulaariseen osaan. Esimerkkejä.
- 17.9.2013:
Satunnaisjonon suppeneminen jakaumamielessä ja yhteys stokastiseen
suppenemiseen. Ekvivalentteja määritelmiä. Todennäköisyysmittojen heikko
suppeneminen.
- 18.9.2013:
Lisää ekvivalentteja määritelmiä suppenemiselle jakaumamielessä, nk.
naulakkolause (portmanteau). Esimerkkejä.
- 24.9.2013:
Tasainen integoituvuus, ekvivalentteja ym. ehtoja ja ominaisuuksia,
yhteys satunnaisjonon suppenemiseen.
- 25.9.2013:
Tasaisen integroituvuuden yhteys satunnaisjonon suppenemiseen
stokastisesti (tod. loppuun) ja jakaumamielessä. Johdattelua Scheffén
lemmaan, esimerkki.
- 1.10.2013:
Suppeneminen kokonaisvaihtelun mielessä, Scheffén lemma. Momenteista.
- 2.10.2013:
Momenttiemäfunktio. Momenttiongelma. Esimerkki (logaritminen
normaalijakauma).
- 8.10.2013:
Kompleksiluvuista. Satunnaismuuttujan karakteristinen funktio,
ominaisuuksia ja esimerkkejä.
- 9.10.2013:
Lisää karakteristisen funktion ominaisuuksia, yksikäsitteisyys,
Lévyn kääntölause.
- 15.10.2013:
Summakaava. Esimerkkejä, myös eräiden integraalien
laskeminen tiheysfunktion kääntökaavan avulla.
Lévyn jatkuvuuslause (ei todistusta).
Kompleksinen derivaatta. Karakteristeisen funktion sileydestä.
- 16.10.2013:
Karakteristisen funktion sileys ja momentit (jatkoa).
Keskeinen raja-arvolause.
- 22.10.2013:
Keskeisen raja-arvolauseen oletusten heikentämisestä,
Lindebergin ehto, Lindebergin ja Fellerin lause, ei todistusta.
Vakaat jakaumat.
Esimerkkejä.
- 23.10.2013:
Ääriarvoteoriaa, yleinen ääriarvojakauma, ei todistusta.
Kertaus ja palaute.
Harjoitustehtävät
Harjoitus 1
Harjoitus 2
Harjoitus 3
Harjoitus 4
Harjoitus 5
Harjoitus 6
Harjoitus 7
Kirjallisuutta
- S. Geiss: An Introduction to Probability Theory II
Lecture notes 61.
- T. Sottinen: Todennäköisyysteoria, löytyy
täältä; Errata.
-
Kompleksiluvuista
(J. Lehrbäck / J. Lehrbäck ja J. Parkkonen)
-
T. Kilpeläinen:
Kompleksianalyysi
- P. Billingsley: Convergence of Probability Measures, Wiley.
- S. Coles: An Introduction to Statistical Modeling of
Extreme Values
- A. Gut: Probability: A Graduate Course, Springer.
- O. Kallenberg: Foundations of Modern Probability, Springer.
- P. A. Meyer: Probability and Potentials, Blaisdell.
- A. N. Shiryaev: Probability, Springer.